$n$ を3以上の自然数とするとき、不等式 $2^n > 2n+1$ を証明する。

1. 問題の内容

$n$ を3以上の自然数とするとき、不等式 $2^n > 2n+1$ を証明する。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明を行う。

(1) $n=3$ のとき

左辺は $2^3 = 8$、右辺は $2 \times 3 + 1 = 7$ である。

よって、$2^3 > 2 \times 3 + 1$ が成り立つ。

(2) $n=k$ ($k \geq 3$) のとき、$2^k > 2k+1$ が成り立つと仮定する。

このとき、$n=k+1$ のときも不等式が成り立つことを示す。

$n=k+1$ のときの左辺は $2^{k+1} = 2 \times 2^k$ である。

仮定より、$2^k > 2k+1$ であるから、

$2^{k+1} = 2 \times 2^k > 2(2k+1) = 4k+2$

$n=k+1$ のときの右辺は $2(k+1)+1 = 2k+3$ である。

ここで、$4k+2 > 2k+3$ を示す。

$4k+2 > 2k+3 \Leftrightarrow 2k > 1 \Leftrightarrow k > \frac{1}{2}$

$k \geq 3$ であるから、$4k+2 > 2k+3$ は常に成り立つ。

したがって、$2^{k+1} > 4k+2 > 2k+3 = 2(k+1)+1$ となり、$2^{k+1} > 2(k+1)+1$ が成り立つ。

(1),(2)より、3以上の全ての自然数$n$に対して、$2^n > 2n+1$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$n$ を3以上の自然数とするとき、$2^n > 2n+1$ が成り立つ。