関数 $y = (x-1)\sqrt{x}$ を微分する。ただし、$x>0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $y = (x-1)\sqrt{x}$ を微分する。ただし、$x>0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を展開する。

$y = x\sqrt{x} - \sqrt{x}$

$x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$ なので、

$y = x^{3/2} - x^{1/2}$

次に、$y$ を $x$ で微分する。

$\frac{d}{dx}(x^{3/2}) = \frac{3}{2}x^{1/2}$

$\frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

通分して整理すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3x-1}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x-1}{2\sqrt{x}}$