$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3} - x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3} - x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限は、$\infty - \infty$ の不定形であるため、そのままでは計算できません。そこで、有理化を行います。

$\sqrt{x^2 + 3} + x$ を分子と分母に掛けます。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 3} - x)(\sqrt{x^2 + 3} + x)}{\sqrt{x^2 + 3} + x}$

分子を展開すると、

$(\sqrt{x^2 + 3} - x)(\sqrt{x^2 + 3} + x) = (x^2 + 3) - x^2 = 3$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{x^2 + 3} + x}$

ここで、$x^2$ をルートの外に出すことを考えます。$x \to \infty$ なので、$x > 0$ として考えます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{x^2(1 + \frac{3}{x^2})} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}} + x}$

分母を $x$ でくくると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x(\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}} + 1)}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{3}{x^2} \to 0$ なので、$\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}} \to \sqrt{1} = 1$

$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x(1 + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{2x}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{3}{2x} \to 0$

3. 最終的な答え

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