$\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\sin\theta \cos\theta$ (2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$ (3) $\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta}$

1. 問題の内容

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $\sin\theta \cos\theta$

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$

(3) $\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ の両辺を2乗する。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$

$\sin^2\theta + 2\sin\theta \cos\theta + \cos^2\theta = \frac{3}{4}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ なので、

$1 + 2\sin\theta \cos\theta = \frac{3}{4}$

$2\sin\theta \cos\theta = \frac{3}{4} - 1 = -\frac{1}{4}$

$\sin\theta \cos\theta = -\frac{1}{8}$

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta \cos\theta + \cos^2\theta)$

$= (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta \cos\theta)$

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ と $\sin\theta \cos\theta = -\frac{1}{8}$ を代入する。

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}(1 - (-\frac{1}{8})) = \frac{\sqrt{3}}{2}(1 + \frac{1}{8}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{9}{8} = \frac{9\sqrt{3}}{16}$

(3) $\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta \cos\theta}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ と $\sin\theta \cos\theta = -\frac{1}{8}$ を代入する。

$\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{1}{-\frac{1}{8}} = -8$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{8}$

(2) $\frac{9\sqrt{3}}{16}$

(3) $-8$