与えられた式 $x^2 + 3xy + 2y^2 + 4x + 7y + 3$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 3xy + 2y^2 + 4x + 7y + 3$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ についての二次式と見て、式を整理します。

$x^2 + (3y + 4)x + (2y^2 + 7y + 3)$

次に、定数項 $2y^2 + 7y + 3$ を因数分解します。

$2y^2 + 7y + 3 = (2y+1)(y+3)$

したがって、$x^2 + (3y + 4)x + (2y^2 + 7y + 3) = x^2 + (3y + 4)x + (2y+1)(y+3)$ となります。

この式が $(x + (ay+b))(x + (cy+d))$ の形に因数分解できると仮定すると、$ac = 1$, $ad+bc = 3$, $bd = 2$ および $a+c = 3$ ,$b+d = 4$, $bd = (2y+1)(y+3)$ が成り立ちます。 $2y^2+7y+3=(2y+1)(y+3)$より、$2y+1$と$y+3$を用いて因数分解できるか検討します。

$(x+(2y+1))(x+(y+3)) = x^2 + x(2y+1) + x(y+3) + (2y+1)(y+3) = x^2 + (3y+4)x + (2y^2+6y+y+3) = x^2 + (3y+4)x + (2y^2+7y+3)$

したがって、$x^2 + 3xy + 2y^2 + 4x + 7y + 3 = (x + 2y + 1)(x + y + 3)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + 2y + 1)(x + y + 3)$