問題は $x^6 - 1$ を因数分解することです。

1. 問題の内容

問題は $x^6 - 1$ を因数分解することです。

2. 解き方の手順

まず、$x^6 - 1$ を $(x^3)^2 - 1^2$ と見ます。

これは $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ の形の因数分解を利用できます。

この場合、$A = x^3$ で $B = 1$ ですから、

$x^6 - 1 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)$ となります。

次に、$x^3 - 1$ と $x^3 + 1$ をそれぞれ因数分解します。

$x^3 - 1$ は $x^3 - 1^3$ と見ることができ、$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を用いると、

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ となります。

同様に、$x^3 + 1$ は $x^3 + 1^3$ と見ることができ、$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を用いると、

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$ となります。

したがって、$x^6 - 1 = (x^3 - 1)(x^3 + 1) = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)$ となります。

通常は順番を入れ替えて、$(x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$ と書きます。

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$ であり、$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) = (x^2 + 1)^2 - x^2 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = x^4 + x^2 + 1$ であるため、$x^6 - 1 = (x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)$ と書くこともできます。

しかし、ここでは$(x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$を最終的な答えとします。

3. 最終的な答え

$(x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$