## 問題の解説

## 問題の解説

この問題は大問1から4まであり、それぞれ以下の内容を扱っています。

* **大問1**: 式の展開

* **大問2**: 因数分解

* **大問3**: 式の値

* **大問4**: 不等式

## 解き方の手順

### 大問1

**(1)** $(x-3y+2)(x-3y-2)$ を展開します。これは $A = x - 3y$ と置くと、$(A+2)(A-2)$となり、$A^2 - 4$ の形になります。

$A^2 = (x - 3y)^2 = x^2 - 6xy + 9y^2$

したがって、

$(x-3y+2)(x-3y-2) = x^2 - 6xy + 9y^2 - 4$

**(2)** $(x+1)(x^2+2x+1)$ を展開します。$x^2+2x+1 = (x+1)^2$ なので、

$(x+1)(x^2+2x+1) = (x+1)(x+1)^2 = (x+1)^3$

$(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

### 大問2

**(1)** $6x^2-11x-10$ を因数分解します。

$6x^2-11x-10 = (2x-5)(3x+2)$

**(2)** $x^2-xy-6y^2-4x+7y+3$ を因数分解します。

$x^2-xy-6y^2-4x+7y+3 = x^2 - (y+4)x - (6y^2-7y-3)$

$6y^2-7y-3 = (2y-3)(3y+1)$

$x^2 - (y+4)x - (2y-3)(3y+1) = (x-(3y+1))(x+(2y-3))$

$= (x-3y-1)(x+2y-3)$

### 大問3

$x = \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$, $y = \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ のとき、$x+y$ と $xy$ の値を求めます。

まず、$x$ と $y$ を有理化します。

$x = \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{2-3} = -2(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = -2\sqrt{2}+2\sqrt{3}$

$y = \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2-3} = -2(\sqrt{2}+\sqrt{3}) = -2\sqrt{2}-2\sqrt{3}$

$x+y = (-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}) + (-2\sqrt{2}-2\sqrt{3}) = -4\sqrt{2}$

$xy = (-2\sqrt{2}+2\sqrt{3})(-2\sqrt{2}-2\sqrt{3}) = (2\sqrt{2}-2\sqrt{3})(2\sqrt{2}+2\sqrt{3}) = (2\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 8 - 12 = -4$

### 大問4

不等式 $0.4 < 0.1x+1 < \frac{x}{2}+\frac{7}{5}$ を解きます。

まず、$0.4 < 0.1x+1$ を解きます。

$0.4 < 0.1x+1$

$-0.6 < 0.1x$

$-6 < x$

$x > -6$

次に、$0.1x+1 < \frac{x}{2}+\frac{7}{5}$ を解きます。

$0.1x+1 < \frac{x}{2}+\frac{7}{5}$

$\frac{1}{10}x + 1 < \frac{1}{2}x + \frac{7}{5}$

$10(\frac{1}{10}x + 1) < 10(\frac{1}{2}x + \frac{7}{5})$

$x+10 < 5x + 14$

$-4 < 4x$

$-1 < x$

$x > -1$

したがって、$x > -6$ と $x > -1$ の共通範囲は $x > -1$ です。

## 最終的な答え

**大問1**

(1) ア：6, イ：9, ウ：4

(2) エ：3, オ：3, カ：1

**大問2**

(1) キ：2, ク：5, ケ：3, コ：2

(2) サ：-3, シ：-1, ス：+2, セ：-3

**大問3**

ソタ：-4, チ：2, ツテ：-4

**大問4**

トナ：-1