与えられた不等式 $|ax - b - 7| < 3$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。特に、 (1) $a = -3$, $b = -2$ のときの整数解の集合を求め、 (2) $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、(i) $b=1$のときの整数解の個数を求め、(ii) 整数解が (i)の個数+1 個となるときの正の整数 $b$ を求める問題です。

はい、この問題について解説します。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|ax - b - 7| < 3$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。特に、

(1) $a = -3$, $b = -2$ のときの整数解の集合を求め、

(2) $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、(i) $b=1$のときの整数解の個数を求め、(ii) 整数解が (i)の個数+1 個となるときの正の整数 $b$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $a = -3$, $b = -2$ を不等式に代入します。

$|-3x - (-2) - 7| < 3$

$|-3x - 5| < 3$

$-3 < -3x - 5 < 3$

$2 < -3x < 8$

$-\frac{8}{3} < x < -\frac{2}{3}$

この範囲に含まれる整数は $-2$ と $-1$ です。

したがって、P = {-2, -1}

(2) $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を不等式に代入します。

$|\frac{1}{\sqrt{2}}x - b - 7| < 3$

$-3 < \frac{1}{\sqrt{2}}x - b - 7 < 3$

$b + 4 < \frac{1}{\sqrt{2}}x < b + 10$

$\sqrt{2}(b + 4) < x < \sqrt{2}(b + 10)$

(i) $b = 1$ のとき

$5\sqrt{2} < x < 11\sqrt{2}$

$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、

$5(1.414) < x < 11(1.414)$

$7.07 < x < 15.554$

この範囲に含まれる整数は 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 の 8 個です。

(ii) (i)より整数解は8個なので、整数解が9個となるような正の整数bを求めます。

$\sqrt{2}(b + 4) < x < \sqrt{2}(b + 10)$

整数解の個数は、区間の長さにある程度比例します。整数解が1つ増えるためには、区間の長さが少なくとも1程度増える必要があります。

$\sqrt{2}(b + 10) - \sqrt{2}(b + 4) = 6\sqrt{2} \approx 8.48$

$b$ が 1 増えると、区間の端点は $\sqrt{2}$ ずつ増加します。

$5\sqrt{2} < x < 11\sqrt{2}$ のとき、整数解は 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 の8個でした。

整数解が9個になるためには、7 か 16 が含まれる必要があります。

$b=1$の場合、整数解が8個でした。$b$を大きくしていくと、$7.07$より小さい整数が含まれなくなります。$15.554$より大きい整数が含まれるように$b$を大きくしていきます。

$\sqrt{2}(b+10)=16$となる場合、 $b+10=8\sqrt{2}=8\times 1.414\approx 11.312$, $b\approx 1.312$

$\sqrt{2}(b+4)=7$となる場合、 $b+4=\frac{7}{\sqrt{2}}$, $b=\frac{7}{\sqrt{2}}-4 \approx \frac{7}{1.414}-4 \approx 4.95-4 = 0.95$

$b=2$とすると、$6\sqrt{2} < x < 12\sqrt{2}$, $8.484 < x < 16.968$. この範囲の整数は9,10,11,12,13,14,15,16の8個

$b=3$とすると、$7\sqrt{2} < x < 13\sqrt{2}$, $9.898 < x < 18.384$. この範囲の整数は10,11,12,13,14,15,16,17,18の9個

3. 最終的な答え

(1) P = {-2, -1}

(2) (i) 8個

(ii) b = 3