与えられた数列の第$k$項を$k$の式で表し、初項から第$n$項までの和$S_n$を求める。数列は $1, 1+2, 1+2+3, \dots, 1+2+3+\dots+n, \dots$ である。

1. 問題の内容

与えられた数列の第$k$項を$k$の式で表し、初項から第$n$項までの和$S_n$を求める。数列は $1, 1+2, 1+2+3, \dots, 1+2+3+\dots+n, \dots$ である。

2. 解き方の手順

数列の第$k$項を$a_k$とする。

$a_k$は、$1$から$k$までの自然数の和なので、等差数列の和の公式を用いて計算する。

$a_k = \sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$

次に、初項から第$n$項までの和$S_n$を求める。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$

$S_n = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \right)$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ と $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用いる。

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right)$

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{2n+1}{6} + \frac{1}{2} \right)$

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{2n+1}{6} + \frac{3}{6} \right)$

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{2n+4}{6} \right)$

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+4)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

3. 最終的な答え

第$k$項: $a_k = \frac{k(k+1)}{2}$

初項から第$n$項までの和: $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$