行列 $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ に対して、$A^n$ (nは0以上の整数)を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ に対して、$A^n$ (nは0以上の整数)を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$A$を行列の回転として解釈します。

$\frac{1}{2} = \cos{\frac{\pi}{3}}$ と $-\frac{\sqrt{3}}{2} = -\sin{\frac{\pi}{3}}$ を使うと、$A$は以下のように書けます。

$A = \begin{pmatrix} \cos{\frac{\pi}{3}} & -\sin{\frac{\pi}{3}} \\ \sin{\frac{\pi}{3}} & \cos{\frac{\pi}{3}} \end{pmatrix}$

これは、原点を中心とする$\frac{\pi}{3}$ラジアンの回転を表す行列です。$n$乗すると、回転角は$n$倍になるので、

$A^n = \begin{pmatrix} \cos{\frac{n\pi}{3}} & -\sin{\frac{n\pi}{3}} \\ \sin{\frac{n\pi}{3}} & \cos{\frac{n\pi}{3}} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^n = \begin{pmatrix} \cos{\frac{n\pi}{3}} & -\sin{\frac{n\pi}{3}} \\ \sin{\frac{n\pi}{3}} & \cos{\frac{n\pi}{3}} \end{pmatrix}$