与えられた行列 $A$ のランクを求める問題です。 $A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 0 & 3 & 1 \\ -2 & 5 & 2 & 0 & -2 \\ -1 & 2 & 0 & -3 & -1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ のランクを求める問題です。

$A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 0 & 3 & 1 \\ -2 & 5 & 2 & 0 & -2 \\ -1 & 2 & 0 & -3 & -1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列 $A$ を簡約化してランクを求めます。

まず、行基本変形を用いて行列を階段行列に変形します。

1行目に2行目を加える:

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 6 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 3 & 1 \\ -2 & 5 & 2 & 0 & -2 \\ -1 & 2 & 0 & -3 & -1 \end{pmatrix}$

2行目を-1倍して1行目と入れ替える:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 6 & 0 \\ -2 & 5 & 2 & 0 & -2 \\ -1 & 2 & 0 & -3 & -1 \end{pmatrix}$

3行目に1行目の2倍を加える:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 6 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & -3 & -1 \end{pmatrix}$

4行目に1行目を加える:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

3行目から2行目を引く:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1行目に2行目の2倍を加える:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 15 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この階段行列において、0でない行は2行なので、行列のランクは2です。

3. 最終的な答え

rank A = 2