与えられた3つの繁分数式をそれぞれ簡単にせよ。 (1) $\frac{1+\frac{1}{a}}{1-\frac{1}{a}}$ (2) $\frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{x+h}}$ (3) $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの繁分数式をそれぞれ簡単にせよ。

(1) $\frac{1+\frac{1}{a}}{1-\frac{1}{a}}$

(2) $\frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{x+h}}$

(3) $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}}$

2. 解き方の手順

(1) 分子と分母をそれぞれ通分する。

分子: $1 + \frac{1}{a} = \frac{a}{a} + \frac{1}{a} = \frac{a+1}{a}$

分母: $1 - \frac{1}{a} = \frac{a}{a} - \frac{1}{a} = \frac{a-1}{a}$

繁分数式を整理する。

$\frac{\frac{a+1}{a}}{\frac{a-1}{a}} = \frac{a+1}{a} \times \frac{a}{a-1} = \frac{a+1}{a-1}$

(2) 分母を計算する。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+h} = \frac{x+h}{x(x+h)} - \frac{x}{x(x+h)} = \frac{x+h-x}{x(x+h)} = \frac{h}{x(x+h)}$

繁分数式を整理する。

$\frac{1}{\frac{h}{x(x+h)}} = \frac{x(x+h)}{h}$

(3) 一番下の分数から順に計算する。

$1 + \frac{1}{a} = \frac{a}{a} + \frac{1}{a} = \frac{a+1}{a}$

$1 + \frac{1}{\frac{a+1}{a}} = 1 + \frac{a}{a+1} = \frac{a+1}{a+1} + \frac{a}{a+1} = \frac{2a+1}{a+1}$

$\frac{1}{\frac{2a+1}{a+1}} = \frac{a+1}{2a+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{a+1}{a-1}$

(2) $\frac{x(x+h)}{h}$

(3) $\frac{a+1}{2a+1}$