与えられた行列 $C$ の逆行列 $C^{-1}$ を求めよ。 $C = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $C$ の逆行列 $C^{-1}$ を求めよ。

$C = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列 $C$ の逆行列 $C^{-1}$ を求める。

まず、行列 $C$ の行列式 $|C|$ を計算する。

$|C| = 1(0\cdot(-3) - 1\cdot2) - 3(2\cdot(-3) - 1\cdot1) + (-4)(2\cdot2 - 0\cdot1) = 1(-2) - 3(-7) - 4(4) = -2 + 21 - 16 = 3$

次に、余因子行列 $adj(C)$ を計算する。

余因子行列の各要素は、元の行列の対応する要素の余因子である。

$C_{11} = (0)(-3) - (1)(2) = -2$

$C_{12} = -(2(-3) - 1(1)) = -(-6 - 1) = 7$

$C_{13} = 2(2) - 0(1) = 4$

$C_{21} = -(3(-3) - (-4)(2)) = -(-9 + 8) = 1$

$C_{22} = 1(-3) - (-4)(1) = -3 + 4 = 1$

$C_{23} = -(1(2) - 3(1)) = -(2 - 3) = 1$

$C_{31} = 3(1) - (-4)(0) = 3$

$C_{32} = -(1(1) - (-4)(2)) = -(1 + 8) = -9$

$C_{33} = 1(0) - 3(2) = -6$

余因子行列は次のようになる。

$adj(C) = \begin{pmatrix} -2 & 7 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & -9 & -6 \end{pmatrix}$

逆行列は、$C^{-1} = \frac{1}{|C|}adj(C)^T$ で求められる。

$adj(C)^T = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 \\ 7 & 1 & -9 \\ 4 & 1 & -6 \end{pmatrix}$

したがって、逆行列 $C^{-1}$ は次のようになる。

$C^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 \\ 7 & 1 & -9 \\ 4 & 1 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/3 & 1/3 & 1 \\ 7/3 & 1/3 & -3 \\ 4/3 & 1/3 & -2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$C^{-1} = \begin{pmatrix} -2/3 & 1/3 & 1 \\ 7/3 & 1/3 & -3 \\ 4/3 & 1/3 & -2 \end{pmatrix}$