$0 \le x \le y \le z \le \frac{4}{5}$ かつ $x+2y+z=1$ を満たす実数 $x, y, z$ が存在する時、$y$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x \le y \le z \le \frac{4}{5}$ かつ $x+2y+z=1$ を満たす実数 $x, y, z$ が存在する時、$y$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x+2y+z=1$ を $y$ について解くと、

$2y = 1 - x - z$

$y = \frac{1 - x - z}{2}$

$y$ の最大値を求める。

$y$ が最大となるのは、$x$ と $z$ が最小の時である。

$0 \le x \le y \le z$ より、$x=0$ とすると、

$y = \frac{1 - z}{2}$

さらに、$y \le z$ であるから、

$\frac{1 - z}{2} \le z$

$1 - z \le 2z$

$1 \le 3z$

$z \ge \frac{1}{3}$

$z \le \frac{4}{5}$ であるから、$z = \frac{1}{3}$ とすると $y = \frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$ となる。

この時、$x = 0, y = \frac{1}{3}, z = \frac{1}{3}$ であり、条件を満たす。

したがって、$y$ の最大値は、$x=0, z=\frac{4}{5}$ の時を考える。

$y = \frac{1 - 0 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{1}{5}}{2} = \frac{1}{10}$

この時、$0 = x \le y = \frac{1}{10} \le z = \frac{4}{5}$ であるので、これは条件を満たす。

$y$ の最小値を求める。

$y$ が最小となるのは、$x$ と $z$ が最大の時である。

$x \le y \le z \le \frac{4}{5}$ より、$x=y=z$ のとき、$y$ は最小となる。

$x+2y+z=1$ に $x=y=z$ を代入すると、

$y + 2y + y = 1$

$4y = 1$

$y = \frac{1}{4}$

$0 \le \frac{1}{4} \le \frac{1}{4} \le \frac{1}{4} \le \frac{4}{5}$ であるから、条件を満たす。

また、$y \le z \le \frac{4}{5}$ とすると、$y \le \frac{4}{5}$ である。

$y = \frac{1 - x - z}{2}$ に、$z = \frac{4}{5}$ を代入すると、

$y = \frac{1 - x - \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{1}{5} - x}{2} = \frac{1}{10} - \frac{x}{2}$

ここで、$0 \le x \le y$ より、$x=0$ とすると、$y = \frac{1}{10}$ となり、$0 \le 0 \le \frac{1}{10} \le \frac{4}{5}$ を満たす。

したがって、$y$ の最小値は $\frac{1}{10}$ である。

3. 最終的な答え

y の最大値: 1/4

y の最小値: 1/10