(1) 中心 $(3, -1)$、半径 $2$ の円の方程式を求めよ。 (2) 原点を中心とし、半径 $\sqrt{5}$ の円の方程式を求めよ。 (3) 2点 $A(2, 4), B(0, 8)$ を結ぶ線分を直径とする円の中心の座標と半径を求め、その方程式を求めよ。 (4) 方程式 $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0$ がどのような図形を表すか調べよ。 (5) 3点 $A(3, 7), B(2, 0), C(0, 6)$ を通る円の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 中心 $(3, -1)$、半径 $2$ の円の方程式を求めよ。

(2) 原点を中心とし、半径 $\sqrt{5}$ の円の方程式を求めよ。

(3) 2点 $A(2, 4), B(0, 8)$ を結ぶ線分を直径とする円の中心の座標と半径を求め、その方程式を求めよ。

(4) 方程式 $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0$ がどのような図形を表すか調べよ。

(5) 3点 $A(3, 7), B(2, 0), C(0, 6)$ を通る円の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 中心 $(a, b)$、半径 $r$ の円の方程式は $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ で表される。

この問題では、中心が $(3, -1)$、半径が $2$ なので、$a = 3, b = -1, r = 2$ を代入する。

$(x - 3)^2 + (y - (-1))^2 = 2^2$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4$

(2) 原点を中心とする円なので、中心は $(0, 0)$。半径が $\sqrt{5}$ なので、

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = (\sqrt{5})^2$

$x^2 + y^2 = 5$

(3) 2点 $A(2, 4), B(0, 8)$ を結ぶ線分を直径とする円の中心は、線分ABの中点である。中点の座標は $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ で求められる。

中心の座標: $\left(\frac{2 + 0}{2}, \frac{4 + 8}{2}\right) = (1, 6)$

半径は、中心とAまたはBの距離である。中心を $(1, 6)$ として点 $A(2, 4)$ との距離を求める。

$r = \sqrt{(2 - 1)^2 + (4 - 6)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

円の方程式: $(x - 1)^2 + (y - 6)^2 = (\sqrt{5})^2$

$(x - 1)^2 + (y - 6)^2 = 5$

(4) $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0$ を平方完成する。

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) = 3$

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 3 + 4 + 9$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$

これは、中心 $(-2, 3)$、半径 $4$ の円を表す。

(5) 求める円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおく。

3点 $A(3, 7), B(2, 0), C(0, 6)$ を通るので、それぞれ代入する。

$A(3, 7): 3^2 + 7^2 + 3a + 7b + c = 0 \implies 9 + 49 + 3a + 7b + c = 0 \implies 3a + 7b + c = -58$

$B(2, 0): 2^2 + 0^2 + 2a + 0b + c = 0 \implies 4 + 2a + c = 0 \implies 2a + c = -4$

$C(0, 6): 0^2 + 6^2 + 0a + 6b + c = 0 \implies 36 + 6b + c = 0 \implies 6b + c = -36$

連立方程式を解く。

$2a + c = -4 \implies c = -2a - 4$

$6b + c = -36 \implies 6b - 2a - 4 = -36 \implies 6b - 2a = -32 \implies 3b - a = -16 \implies a = 3b + 16$

$3a + 7b + c = -58 \implies 3(3b + 16) + 7b - 2(3b + 16) - 4 = -58 \implies 9b + 48 + 7b - 6b - 32 - 4 = -58 \implies 10b + 12 = -58 \implies 10b = -70 \implies b = -7$

$a = 3b + 16 = 3(-7) + 16 = -21 + 16 = -5$

$c = -2a - 4 = -2(-5) - 4 = 10 - 4 = 6$

よって、円の方程式は $x^2 + y^2 - 5x - 7y + 6 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4$

(2) $x^2 + y^2 = 5$

(3) $(x - 1)^2 + (y - 6)^2 = 5$

(4) 中心 $(-2, 3)$、半径 $4$ の円

(5) $x^2 + y^2 - 5x - 7y + 6 = 0$