与えられた5つの問題は以下の通りです。 (1) 点$(1, 1)$を通り、傾きが$2$の直線の方程式を求めよ。 (2) 2点$A(1, 2), B(3, 3)$を通る直線の方程式を求めよ。 (3) 2点$A(2, -3), B(2, 1)$を通る直線の方程式を求めよ。 (4) 方程式$2x - 3y + 6 = 0$の傾きと$y$軸上の切片を求めよ。 (5) 2直線$x + 2y - 6 = 0, x - 2y + 2 = 0$の交点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた5つの問題は以下の通りです。

(1) 点$(1, 1)$を通り、傾きが$2$の直線の方程式を求めよ。

(2) 2点$A(1, 2), B(3, 3)$を通る直線の方程式を求めよ。

(3) 2点$A(2, -3), B(2, 1)$を通る直線の方程式を求めよ。

(4) 方程式$2x - 3y + 6 = 0$の傾きと$y$軸上の切片を求めよ。

(5) 2直線$x + 2y - 6 = 0, x - 2y + 2 = 0$の交点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点$(x_1, y_1)$を通り、傾き$m$の直線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$で与えられます。

この問題では、$(x_1, y_1) = (1, 1)$、 $m = 2$なので、

$y - 1 = 2(x - 1)$

$y - 1 = 2x - 2$

$y = 2x - 1$

(2)

2点$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$を通る直線の方程式は、

$\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$で与えられます。

この問題では、$A(1, 2), B(3, 3)$なので、 $(x_1, y_1) = (1, 2), (x_2, y_2) = (3, 3)$

$\frac{y - 2}{x - 1} = \frac{3 - 2}{3 - 1}$

$\frac{y - 2}{x - 1} = \frac{1}{2}$

$2(y - 2) = x - 1$

$2y - 4 = x - 1$

$2y = x + 3$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

変形すると $x-2y+3=0$

(3)

2点$A(2, -3), B(2, 1)$を通る直線の方程式を求めます。

2点の$x$座標が同じなので、この直線は$x = 2$となります。

(4)

方程式$2x - 3y + 6 = 0$を変形して、$y$について解きます。

$3y = 2x + 6$

$y = \frac{2}{3}x + 2$

直線の傾きは$\frac{2}{3}$、$y$軸上の切片は$2$となります。

(5)

2直線$x + 2y - 6 = 0, x - 2y + 2 = 0$の交点を求めるには、連立方程式を解きます。

$x + 2y = 6$

$x - 2y = -2$

2式を足すと $2x = 4$なので、$x = 2$

$x = 2$を$x + 2y = 6$に代入すると、$2 + 2y = 6$, $2y = 4$なので、$y = 2$

交点の座標は$(2, 2)$となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x - 1$

(2) $x - 2y + 3 = 0$

(3) $x = 2$

(4) 傾き: $\frac{2}{3}$, $y$軸上の切片: $2$

(5) $(2, 2)$