三角形ABCがあり、$AB = 12$, $BC = 14$, $CA = 16$ である。角BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。三角形ADCの外接円と辺ABの交点のうち、AでないものをEとする。設問は、BDの長さ、方べきの定理を用いた時のBD・BCの値、BEの長さを求める問題。また、チェバの定理、メネラウスの定理を用いて値を求める問題や、直線ADとCEの交点をPとしたとき、直線BPとACの交点をQとしたとき、三角形ABCの重心と内心の位置について、AR/RD, PR/ADの値を求める問題。さらに、三角形BPRと三角形ABCの面積比を求める問題。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、$AB = 12$, $BC = 14$, $CA = 16$ である。角BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。三角形ADCの外接円と辺ABの交点のうち、AでないものをEとする。設問は、BDの長さ、方べきの定理を用いた時のBD・BCの値、BEの長さを求める問題。また、チェバの定理、メネラウスの定理を用いて値を求める問題や、直線ADとCEの交点をPとしたとき、直線BPとACの交点をQとしたとき、三角形ABCの重心と内心の位置について、AR/RD, PR/ADの値を求める問題。さらに、三角形BPRと三角形ABCの面積比を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 12:16 = 3:4$。

$BC = BD + DC = 14$ だから、$BD = \frac{3}{3+4} \times 14 = \frac{3}{7} \times 14 = 6$。

方べきの定理より、$BE \times BA = BD \times BC$。従って、$BD \times BC = 6 \times 14 = 84$。

$BE \times BA = BD \times BC$ より、$BE = \frac{BD \times BC}{BA} = \frac{6 \times 14}{12} = \frac{14}{2} = 7$。

よって、$BE = 7$。選択肢は $BE=RE$

3. 最終的な答え

$BD = 6$

$BD \times BC = 84$

$BE=RE$