定積分 $\int_{0}^{2} |e^x - 2| \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} |e^x - 2| \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$e^x - 2 = 0$ となる $x$ を求めます。

$e^x = 2$ より、$x = \ln{2}$ となります。積分区間 $[0, 2]$ において、$\ln{2}$ は $0$ と $2$ の間にあります。

次に、積分区間を $[0, \ln{2}]$ と $[\ln{2}, 2]$ に分割します。

$0 \le x \le \ln{2}$ のとき、$e^x \le 2$ なので、$|e^x - 2| = 2 - e^x$ となります。

$\ln{2} \le x \le 2$ のとき、$e^x \ge 2$ なので、$|e^x - 2| = e^x - 2$ となります。

よって、積分は以下のように分割できます。

$\int_{0}^{2} |e^x - 2| \, dx = \int_{0}^{\ln{2}} (2 - e^x) \, dx + \int_{\ln{2}}^{2} (e^x - 2) \, dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{\ln{2}} (2 - e^x) \, dx = [2x - e^x]_{0}^{\ln{2}} = (2\ln{2} - e^{\ln{2}}) - (2(0) - e^0) = 2\ln{2} - 2 - (0 - 1) = 2\ln{2} - 1$

$\int_{\ln{2}}^{2} (e^x - 2) \, dx = [e^x - 2x]_{\ln{2}}^{2} = (e^2 - 2(2)) - (e^{\ln{2}} - 2\ln{2}) = e^2 - 4 - (2 - 2\ln{2}) = e^2 - 6 + 2\ln{2}$

したがって、

$\int_{0}^{2} |e^x - 2| \, dx = (2\ln{2} - 1) + (e^2 - 6 + 2\ln{2}) = e^2 - 7 + 4\ln{2}$

3. 最終的な答え

$e^2 - 7 + 4\ln{2}$