関数 $f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ と $g(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ が与えられている。ただし、定義域は $x \ge 0$ である。 (1) $f(x)$ と $g(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ と $g^{-1}(x)$ を求めよ。 (2) $a$ を $1$ より大きい実数とする。座標平面上の2曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$、および2直線 $y = 1$ と $y = a$ で囲まれる図形の面積 $S(a)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ と $g(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ が与えられている。ただし、定義域は $x \ge 0$ である。

(1) $f(x)$ と $g(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ と $g^{-1}(x)$ を求めよ。

(2) $a$ を $1$ より大きい実数とする。座標平面上の2曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$、および2直線 $y = 1$ と $y = a$ で囲まれる図形の面積 $S(a)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 逆関数の計算

$y = f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ より、 $2y = e^x + e^{-x}$。両辺に $e^x$ をかけると、 $2ye^x = e^{2x} + 1$。整理して、$e^{2x} - 2ye^x + 1 = 0$。

$e^x$ について解くと、$e^x = \frac{2y \pm \sqrt{4y^2 - 4}}{2} = y \pm \sqrt{y^2 - 1}$。

$x \ge 0$ なので、$e^x \ge 1$。$y - \sqrt{y^2 - 1} = \frac{(y - \sqrt{y^2 - 1})(y + \sqrt{y^2 - 1})}{y + \sqrt{y^2 - 1}} = \frac{1}{y + \sqrt{y^2 - 1}}$ であり、$y \ge 1$ なので、$y - \sqrt{y^2 - 1} \le 1$。

したがって、$e^x = y + \sqrt{y^2 - 1}$。よって、$x = \log(y + \sqrt{y^2 - 1})$。

よって、$f^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})$。

$y = g(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ より、 $2y = e^x - e^{-x}$。両辺に $e^x$ をかけると、$2ye^x = e^{2x} - 1$。整理して、$e^{2x} - 2ye^x - 1 = 0$。

$e^x$ について解くと、$e^x = \frac{2y \pm \sqrt{4y^2 + 4}}{2} = y \pm \sqrt{y^2 + 1}$。

$e^x > 0$ なので、$e^x = y + \sqrt{y^2 + 1}$。よって、$x = \log(y + \sqrt{y^2 + 1})$。

よって、$g^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$。

(2) 面積の計算

$S(a) = \int_{1}^{a} (f^{-1}(y) - g^{-1}(y))dy = \int_{1}^{a} (\log(y + \sqrt{y^2 - 1}) - \log(y + \sqrt{y^2 + 1}))dy$

$S(a) = \int_{1}^{a} \log(\frac{y + \sqrt{y^2 - 1}}{y + \sqrt{y^2 + 1}}) dy$

ここで、$f(x) = \cosh x$、$g(x) = \sinh x$ であるから、$f^{-1}(y) = \cosh^{-1} y$、$g^{-1}(y) = \sinh^{-1} y$。

$\cosh^{-1} y = \log (y + \sqrt{y^2 - 1})$、$\sinh^{-1} y = \log (y + \sqrt{y^2 + 1})$。

$x = f^{-1}(y)$ と $x = g^{-1}(y)$ の交点は、$f(x) = g(x)$ を満たす点。

$\frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ より、$e^x + e^{-x} = e^x - e^{-x}$。よって、$2e^{-x} = 0$。これは解を持たない。

よって、$f(x)$ と $g(x)$ は交わらない。

$f(0) = 1$、$g(0) = 0$ である。

よって、$S(a) = \int_{1}^{a} (f^{-1}(y) - g^{-1}(y))dy = \int_{1}^{a} (\cosh^{-1} y - \sinh^{-1} y) dy$

$\int \cosh^{-1} y dy = y\cosh^{-1} y - \sqrt{y^2 - 1}$

$\int \sinh^{-1} y dy = y\sinh^{-1} y - \sqrt{y^2 + 1}$

$S(a) = [y\cosh^{-1} y - \sqrt{y^2 - 1} - (y\sinh^{-1} y - \sqrt{y^2 + 1})]_{1}^{a}$

$S(a) = [y(\cosh^{-1} y - \sinh^{-1} y) - \sqrt{y^2 - 1} + \sqrt{y^2 + 1}]_{1}^{a}$

$S(a) = a(\cosh^{-1} a - \sinh^{-1} a) - \sqrt{a^2 - 1} + \sqrt{a^2 + 1} - (0 - 0 + \sqrt{2}) = a(\cosh^{-1} a - \sinh^{-1} a) - \sqrt{a^2 - 1} + \sqrt{a^2 + 1} - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $f^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})$

$g^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$

(2) $S(a) = a(\log(a + \sqrt{a^2 - 1}) - \log(a + \sqrt{a^2 + 1})) - \sqrt{a^2 - 1} + \sqrt{a^2 + 1} - \sqrt{2}$