$\int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用いて計算します。

まず、$I = \int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x \, dx$ とおきます。

1回目の部分積分：

$u = \sin x$, $dv = e^{x} dx$ とおくと、

$du = \cos x \, dx$, $v = e^{x}$ となります。

したがって、

$\int e^{x} \sin x \, dx = e^{x} \sin x - \int e^{x} \cos x \, dx$

$I = \int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x \, dx = [e^{x} \sin x]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x \, dx$

$= (e^{\pi} \sin \pi - e^{0} \sin 0) - \int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x \, dx$

$= 0 - \int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x \, dx = - \int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x \, dx$

2回目の部分積分：

$\int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x \, dx$ を計算するために、再度部分積分を行います。

$u = \cos x$, $dv = e^{x} dx$ とおくと、

$du = -\sin x \, dx$, $v = e^{x}$ となります。

したがって、

$\int e^{x} \cos x \, dx = e^{x} \cos x - \int e^{x} (-\sin x) \, dx = e^{x} \cos x + \int e^{x} \sin x \, dx$

$\int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x \, dx = [e^{x} \cos x]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x \, dx$

$= (e^{\pi} \cos \pi - e^{0} \cos 0) + \int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x \, dx$

$= (e^{\pi}(-1) - 1) + \int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x \, dx = -e^{\pi} - 1 + I$

したがって、

$I = - \int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x \, dx = -(-e^{\pi} - 1 + I) = e^{\pi} + 1 - I$

$2I = e^{\pi} + 1$

$I = \frac{e^{\pi} + 1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^{\pi} + 1}{2}$