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$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx$ を計算します。

解析学積分三角関数置換積分
2025/5/7

1. 問題の内容

∫−π2π2cos⁡3xdx\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx を計算します。

2. 解き方の手順

cos⁡3x\cos^3 x は偶関数なので、
∫−π2π2cos⁡3xdx=2∫0π2cos⁡3xdx\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx
と変形できます。
cos⁡3x=cos⁡xcos⁡2x=cos⁡x(1−sin⁡2x)\cos^3 x = \cos x \cos^2 x = \cos x (1 - \sin^2 x) なので、
2∫0π2cos⁡3xdx=2∫0π2cos⁡x(1−sin⁡2x)dx2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x (1 - \sin^2 x) dx
となります。
ここで、u=sin⁡xu = \sin x と置換すると、du=cos⁡xdxdu = \cos x dx となり、積分範囲は 00 から 11 に変化します。
したがって、
2∫0π2cos⁡x(1−sin⁡2x)dx=2∫01(1−u2)du2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x (1 - \sin^2 x) dx = 2 \int_{0}^{1} (1 - u^2) du
=2[u−u33]01=2(1−13)=2(23)=43= 2 [u - \frac{u^3}{3}]_{0}^{1} = 2 (1 - \frac{1}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}

3. 最終的な答え

43\frac{4}{3}

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