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与えられた定積分 $\int_{-e}^{e} xe^{x^2} dx$ を計算します。

解析学定積分置換積分積分計算
2025/5/7

1. 問題の内容

与えられた定積分 ∫−eexex2dx\int_{-e}^{e} xe^{x^2} dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 ∫xex2dx\int xe^{x^2} dx を計算します。置換積分法を用います。u=x2u = x^2 とおくと、du=2xdxdu = 2x dx となります。したがって、xdx=12dux dx = \frac{1}{2} du となります。
よって、
∫xex2dx=∫eu12du=12∫eudu=12eu+C=12ex2+C\int xe^{x^2} dx = \int e^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C
となります。
次に、定積分を計算します。
∫−eexex2dx=[12ex2]−ee=12ee2−12e(−e)2=12ee2−12ee2=0\int_{-e}^{e} xe^{x^2} dx = \left[ \frac{1}{2} e^{x^2} \right]_{-e}^{e} = \frac{1}{2} e^{e^2} - \frac{1}{2} e^{(-e)^2} = \frac{1}{2} e^{e^2} - \frac{1}{2} e^{e^2} = 0
となります。

3. 最終的な答え

0

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