定積分 $\int_{-a}^{a} x^3 \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$ を計算します。

解析学定積分奇関数積分

2025/5/7

1. 問題の内容

定積分

\int_{-a}^{a} x^3 \sqrt{a^2 - x^2} \, dx

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、

f(x) = x^3 \sqrt{a^2 - x^2}

とおきます。

f(-x) = (-x)^3 \sqrt{a^2 - (-x)^2} = -x^3 \sqrt{a^2 - x^2} = -f(x)

となるので、

f(x)

は奇関数です。

奇関数の

-a

から

a

までの定積分は 0 になるので、

\int_{-a}^{a} x^3 \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = 0

3. 最終的な答え

0

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