三角形OABにおいて、辺OA, OB上に点P, Qがあり、OP:PA = 3:2, OQ:QB = 5:1である。線分AQとBPの交点をRとし、直線ORと辺ABとの交点をSとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とするとき、以下の問いに答える。 (1) $\vec{OR}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。 (2) $\vec{OS}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。また、OR:RSを最も簡単な整数比で表せ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OA, OB上に点P, Qがあり、OP:PA = 3:2, OQ:QB = 5:1である。線分AQとBPの交点をRとし、直線ORと辺ABとの交点をSとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とするとき、以下の問いに答える。

(1) $\vec{OR}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。

(2) $\vec{OS}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。また、OR:RSを最も簡単な整数比で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OR}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す。

Rは線分AQ上にあるので、実数$s$を用いて

$\vec{OR} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OQ} = (1-s)\vec{a} + s\frac{5}{6}\vec{b}$

Rは線分BP上にあるので、実数$t$を用いて

$\vec{OR} = t\vec{OP} + (1-t)\vec{OB} = t\frac{3}{5}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して

$1-s = \frac{3}{5}t$

$\frac{5}{6}s = 1-t$

この連立方程式を解く。

$s = 1 - t + \frac{1}{6}s$

$\frac{5}{6}s=1-t$, $t=1-\frac{5}{6}s$

$1-s = \frac{3}{5}(1-\frac{5}{6}s)$

$1-s = \frac{3}{5} - \frac{1}{2}s$

$\frac{1}{2}s - s = \frac{3}{5} - 1$

$-\frac{1}{2}s = -\frac{2}{5}$

$s = \frac{4}{5}$

$t = 1 - \frac{5}{6}\times \frac{4}{5} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

$\vec{OR} = (1-\frac{4}{5})\vec{a} + \frac{4}{5}\times \frac{5}{6}\vec{b} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

$\vec{OR} = \frac{1}{3}\times\frac{3}{5}\vec{a} + (1-\frac{1}{3})\vec{b} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

(2) $\vec{OS}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表す。また、OR:RSを最も簡単な整数比で表す。

Sは直線OR上にあるので、実数$k$を用いて

$\vec{OS} = k\vec{OR} = k(\frac{1}{5}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b})$

Sは辺AB上にあるので、実数$l$を用いて

$\vec{OS} = (1-l)\vec{OA} + l\vec{OB} = (1-l)\vec{a} + l\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{1}{5}k = 1-l$

$\frac{2}{3}k = l$

$\frac{1}{5}k = 1 - \frac{2}{3}k$

$\frac{1}{5}k + \frac{2}{3}k = 1$

$\frac{3+10}{15}k = 1$

$\frac{13}{15}k = 1$

$k = \frac{15}{13}$

$\vec{OS} = \frac{15}{13}(\frac{1}{5}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}) = \frac{3}{13}\vec{a} + \frac{10}{13}\vec{b}$

$\vec{OR} = \frac{13}{15}\vec{OS}$

$\vec{OS} = \frac{15}{13}\vec{OR}$

$\vec{RS} = \vec{OS} - \vec{OR} = \frac{15}{13}\vec{OR} - \vec{OR} = \frac{2}{13}\vec{OR}$

$\vec{OR} : \vec{RS} = \vec{OR} : \frac{2}{13}\vec{OR} = 1 : \frac{2}{13} = 13:2$

OR:RS = 13:2

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OR} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

(2) $\vec{OS} = \frac{3}{13}\vec{a} + \frac{10}{13}\vec{b}$, OR:RS = 13:2