定積分 $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^4 x \cos x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^4 x \cos x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を用います。

$u = \sin x$ とおくと、$du = \cos x dx$ となります。

また、積分区間も変更する必要があります。

$x = -\frac{\pi}{4}$ のとき、$u = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$u = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。

したがって、与えられた定積分は次のようになります。

$\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^4 du$

$u^4$ は偶関数なので、積分区間が原点に関して対称なとき、次の性質が成り立ちます。

$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ (ただし、$f(x)$ が偶関数のとき)

この性質を利用して、

$2 \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^4 du = 2 \left[ \frac{u^5}{5} \right]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2 \left( \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = 2 \left( \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})^5}{5} \right)$

$= 2 \left( \frac{(\sqrt{2})^5}{2^5} \cdot \frac{1}{5} \right) = 2 \left( \frac{2^{\frac{5}{2}}}{32} \cdot \frac{1}{5} \right) = 2 \left( \frac{2^2 \sqrt{2}}{32} \cdot \frac{1}{5} \right) = 2 \left( \frac{4\sqrt{2}}{32} \cdot \frac{1}{5} \right) = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{1}{5} \right) = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{40} \right) = \frac{\sqrt{2}}{20}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{20}$