$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

二重根号を外すために、$\sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$ の公式を利用することを考えます。

まず、$12 - 6\sqrt{3}$ を $12 - \sqrt{36 \times 3} = 12 - \sqrt{108}$ と変形します。

したがって、$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{12 - \sqrt{108}}$ となります。

ここで、$a = 12$ および $b = 108$ とします。

$a^2 - b = 12^2 - 108 = 144 - 108 = 36$ となります。

したがって、$\sqrt{a^2 - b} = \sqrt{36} = 6$ です。

$\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} = \sqrt{\frac{12 + 6}{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$

$\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} = \sqrt{\frac{12 - 6}{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$

したがって、$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = 3 - \sqrt{3}$ となります。

別解として、$12 - 6\sqrt{3}$ を $(a-b)^2$ の形に変形することを考えます。

$12 - 6\sqrt{3} = 9 - 6\sqrt{3} + 3 = (3 - \sqrt{3})^2$

したがって、$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{(3 - \sqrt{3})^2} = |3 - \sqrt{3}| = 3 - \sqrt{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$3 - \sqrt{3}$