整式 $P(x) = (x-b)(x^2 - ax + b + 3) + (b-a)(b+3)$ が与えられている。ただし、$a, b$ は実数の定数である。 (1) $P(a)$ の値を求める。 (2) $P(x)$ を因数分解する。 (3) 3次方程式 $P(x) = 0$ の3つの解の和が $-3$ であるとき、$b$ を $a$ を用いて表す。また、このとき、3次方程式 $P(x) = 0$ が異なる解をちょうど2個もつような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

整式 $P(x) = (x-b)(x^2 - ax + b + 3) + (b-a)(b+3)$ が与えられている。ただし、$a, b$ は実数の定数である。

(1) $P(a)$ の値を求める。

(2) $P(x)$ を因数分解する。

(3) 3次方程式 $P(x) = 0$ の3つの解の和が $-3$ であるとき、$b$ を $a$ を用いて表す。また、このとき、3次方程式 $P(x) = 0$ が異なる解をちょうど2個もつような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(a)$ の値を求める。

$P(x) = (x-b)(x^2 - ax + b + 3) + (b-a)(b+3)$ に $x=a$ を代入する。

$P(a) = (a-b)(a^2 - a^2 + b + 3) + (b-a)(b+3)$

$P(a) = (a-b)(b+3) + (b-a)(b+3)$

$P(a) = (a-b)(b+3) - (a-b)(b+3)$

$P(a) = 0$

(2) $P(x)$ を因数分解する。

$P(x) = (x-b)(x^2 - ax + b + 3) + (b-a)(b+3)$

$P(x) = (x-b)(x^2 - ax + b + 3) + (b^2 + 3b - ab - 3a)$

$P(x) = x^3 - ax^2 + bx + 3x - bx^2 + abx - b^2 - 3b + b^2 + 3b - ab - 3a$

$P(x) = x^3 - (a+b)x^2 + (b+3+ab)x - ab - 3a$

$P(a) = 0$ であるから、$P(x)$ は $(x-a)$ で割り切れる。

$P(x) = (x-a)(x^2 + Ax + B)$ とおくと、

$x^3 - (a+b)x^2 + (b+3+ab)x - ab - 3a = (x-a)(x^2 + Ax + B)$

$x^3 - (a+b)x^2 + (b+3+ab)x - ab - 3a = x^3 + (A-a)x^2 + (B-aA)x - aB$

係数を比較して

$A - a = -(a+b)$ より $A = -b$

$B - aA = b+3+ab$ より $B + ab = b+3+ab$ より $B = b+3$

$-aB = -ab - 3a$ より $-a(b+3) = -ab - 3a$ これは成り立つ。

よって、$P(x) = (x-a)(x^2 - bx + b+3)$

(3) $P(x)=0$ の３つの解の和が $-3$ であるとき、$b$ を $a$ で表す。

$x^2 - bx + b+3 = 0$ の2つの解を $x_1, x_2$ とすると、解と係数の関係より、$x_1 + x_2 = b$

$P(x) = 0$ の3つの解は $a, x_1, x_2$ であるから、$a + x_1 + x_2 = a + b = -3$

したがって、$b = -a-3$

このとき、$P(x) = 0$ が異なる解をちょうど2個もつような $a$ の値を求める。

$P(x) = (x-a)(x^2 - bx + b+3) = 0$

$x^2 - bx + b+3 = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$D = b^2 - 4(b+3) = b^2 - 4b - 12 = (b-6)(b+2)$

$b = -a - 3$ を代入すると

$D = (-a-3-6)(-a-3+2) = (-a-9)(-a-1) = (a+9)(a+1)$

$P(x)=0$ が異なる解をちょうど2個もつ条件は、

(i) $x^2 - bx + b+3 = 0$ が重解を持ち、その重解が $a$ でない。つまり $D=0$ かつ 重解 $\ne a$

$D = (a+9)(a+1) = 0$ より $a = -9$ または $a=-1$

$a = -9$ のとき $b = -(-9) - 3 = 6$ であるから、$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 = 0$ よって $x=3$

重解は $x = 3 \ne a = -9$

$a = -1$ のとき $b = -(-1) - 3 = -2$ であるから、$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = 0$ よって $x=-1$

重解は $x = -1 = a$ これは不適

(ii) $x^2 - bx + b+3 = 0$ が $x=a$ を解に持つ

$a^2 - ba + b+3 = 0$

$a^2 - (-a-3)a + (-a-3) + 3 = 0$

$a^2 + a^2 + 3a - a = 0$

$2a^2 + 2a = 0$

$2a(a+1) = 0$

$a = 0, -1$

$a = 0$ のとき $b = -3$ であるから $x^2 + 3x = 0$ $x(x+3) = 0$ $x=0, -3$

解は $0, 0, -3$

$a = -1$ のとき $b = -2$ であるから $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = 0$ $x=-1$

解は $-1, -1, -1$ これは３つとも同じ解になるので不適

したがって、$a=-9$ または $a=0$

3. 最終的な答え

(1) $P(a) = 0$

(2) $P(x) = (x-a)(x^2 - bx + b+3)$

(3) $b = -a-3$, $a = -9, 0$