3次式 $P(x) = x^3 + (p-1)x^2 + px - q$ があり、$P(1) = 0$ である。ただし、$p, q$ は実数の定数である。 (1) $q$ を $p$ を用いて表す。 (2) $P(x)$ を因数分解し、方程式 $P(x) = 0$ が虚数解をもつような $p$ の値の範囲を求める。 (3) (2)のとき、方程式 $P(x) = 0$ の2つの虚数解を $\alpha, \beta$ とする。$\alpha^2 = 2\beta$ が成り立つとき、$p$ の値を求める。

1. 問題の内容

3次式 $P(x) = x^3 + (p-1)x^2 + px - q$ があり、$P(1) = 0$ である。ただし、$p, q$ は実数の定数である。

(1) $q$ を $p$ を用いて表す。

(2) $P(x)$ を因数分解し、方程式 $P(x) = 0$ が虚数解をもつような $p$ の値の範囲を求める。

(3) (2)のとき、方程式 $P(x) = 0$ の2つの虚数解を $\alpha, \beta$ とする。$\alpha^2 = 2\beta$ が成り立つとき、$p$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(1) = 0$ より、

$1^3 + (p-1)(1)^2 + p(1) - q = 0$

$1 + p - 1 + p - q = 0$

$2p - q = 0$

したがって、$q = 2p$。

(2) (1)より、$P(x) = x^3 + (p-1)x^2 + px - 2p$

$P(x) = x^3 - x^2 + px^2 + px - 2p = x^2(x-1) + p(x^2 + x - 2) = x^2(x-1) + p(x-1)(x+2) = (x-1)(x^2 + p(x+2)) = (x-1)(x^2 + px + 2p)$

$P(x) = (x-1)(x^2 + px + 2p)$

$P(x) = 0$ となるのは、$x = 1$ または $x^2 + px + 2p = 0$

$x^2 + px + 2p = 0$ が虚数解を持つ条件は、判別式 $D = p^2 - 4(1)(2p) < 0$

$p^2 - 8p < 0$

$p(p-8) < 0$

$0 < p < 8$

(3) $x^2 + px + 2p = 0$ の2つの解が $\alpha, \beta$ である。解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -p$ かつ $\alpha \beta = 2p$。

$\alpha^2 = 2\beta$ より、$\alpha^2 + 2\alpha = 2\beta + 2\alpha = 2(\alpha + \beta) = 2(-p) = -2p$

$\alpha(\alpha + 2) = -2p$

$\alpha \beta = 2p$ より、$\beta = \frac{2p}{\alpha}$

$\alpha^2 = 2\beta$ に代入して、$\alpha^2 = 2(\frac{2p}{\alpha}) = \frac{4p}{\alpha}$

$\alpha^3 = 4p$

$\alpha^3 = 4p$ と $\alpha \beta = 2p$ より、$\frac{\alpha^3}{4} = \frac{\alpha \beta}{2}$

$\alpha^2 = 2\beta$ (与えられている条件)

$\alpha + \beta = -p$ に $\beta = \frac{\alpha^2}{2}$ を代入すると、$\alpha + \frac{\alpha^2}{2} = -p$

$\alpha^3 = 4p$ より、$p = \frac{\alpha^3}{4}$

$\alpha + \frac{\alpha^2}{2} = -\frac{\alpha^3}{4}$

$4\alpha + 2\alpha^2 = -\alpha^3$

$\alpha^3 + 2\alpha^2 + 4\alpha = 0$

$\alpha(\alpha^2 + 2\alpha + 4) = 0$

$\alpha$ は虚数解なので、$\alpha \ne 0$。したがって、$\alpha^2 + 2\alpha + 4 = 0$。

$\alpha = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$

$\alpha = -1 + i\sqrt{3}$ のとき、$\alpha^3 = (-1+i\sqrt{3})^3 = (-1)^3 + 3(-1)^2(i\sqrt{3}) + 3(-1)(i\sqrt{3})^2 + (i\sqrt{3})^3 = -1 + 3i\sqrt{3} - 3(-1)(-3) + i^3(3\sqrt{3}) = -1 + 3i\sqrt{3} + 9 - 3i\sqrt{3} = 8$

$p = \frac{\alpha^3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$\alpha = -1 - i\sqrt{3}$ のとき、$\alpha^3 = (-1-i\sqrt{3})^3 = -1 - 3i\sqrt{3} - 9 + 3i\sqrt{3} = -10$　(これは誤り)

$\alpha^3 = 8$ から、 $\alpha = -1 + i\sqrt{3}$ のとき $\alpha^3 = 8$ なので $p = \frac{8}{4} = 2$

$p=2$ は $0 < p < 8$ を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $q = 2p$

(2) $P(x) = (x-1)(x^2 + px + 2p)$, $0 < p < 8$

(3) $p = 2$