2つの整式 $P(x) = (x-3)(2x+a)$ と $Q(x) = x^3 - 3x^2 + bx + c$ が与えられている。 $P(x)$ を $x-1$ で割った余りは -6 であり、$Q(x)$ は $x^2 + 2$ で割り切れる。ただし、$a, b, c$ は定数とする。 (1) $a$ の値を求める。 (2) $Q(x)$ を $x^2 + 2$ で割った商を求め、さらに $b, c$ の値をそれぞれ求める。 (3) $k$ を定数とする。$x$ の方程式 $kP(x) + Q(x) = 0$ の異なる実数解の個数がちょうど2個であるとき、$k$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの整式 $P(x) = (x-3)(2x+a)$ と $Q(x) = x^3 - 3x^2 + bx + c$ が与えられている。

$P(x)$ を $x-1$ で割った余りは -6 であり、$Q(x)$ は $x^2 + 2$ で割り切れる。ただし、$a, b, c$ は定数とする。

(1) $a$ の値を求める。

(2) $Q(x)$ を $x^2 + 2$ で割った商を求め、さらに $b, c$ の値をそれぞれ求める。

(3) $k$ を定数とする。$x$ の方程式 $kP(x) + Q(x) = 0$ の異なる実数解の個数がちょうど2個であるとき、$k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ を $x-1$ で割った余りが -6 であることから、$P(1) = -6$。

$P(1) = (1-3)(2(1)+a) = -2(2+a) = -6$

$2+a = 3$

$a = 1$

(2) $Q(x)$ が $x^2 + 2$ で割り切れるので、$Q(x) = (x^2 + 2)(x+m)$ とおくことができる。

$Q(x) = x^3 + mx^2 + 2x + 2m$

$Q(x) = x^3 - 3x^2 + bx + c$ と比較すると、

$m = -3$

$b = 2$

$c = 2m = -6$

したがって、$Q(x) = (x^2 + 2)(x - 3)$ より、$Q(x)$ を $x^2 + 2$ で割った商は $x - 3$。

$b = 2$, $c = -6$

(3) $kP(x) + Q(x) = 0$ の異なる実数解の個数がちょうど2個である。

$a = 1$ より、$P(x) = (x-3)(2x+1) = 2x^2 - 5x - 3$

$Q(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 6 = (x-3)(x^2+2)$

$k(2x^2 - 5x - 3) + x^3 - 3x^2 + 2x - 6 = 0$

$x^3 + (2k-3)x^2 + (-5k+2)x + (-3k-6) = 0$

$x^3 + (2k-3)x^2 + (-5k+2)x - 3(k+2) = 0$

$Q(x) = (x-3)(x^2+2)$ であり、$P(3)=0$なので、$x=3$を代入してみる。

$kP(3)+Q(3) = k(0) + 0 = 0$

したがって、$x = 3$ は常に解である。

$x^3 + (2k-3)x^2 + (-5k+2)x - 3(k+2) = (x-3)(x^2+Ax+k+2)=0$とおける。

$(x-3)(x^2+(2k)x+k+2)=x^3+(2k-3)x^2 + (-5k+2)x + (-3k-6)$

$x^2+(2k)x+k+2=0$の判別式を$D$とすると、$D<0$または$D=0$であれば良い。ただし、$x=3$と解が一致してはならない。

$D = (2k)^2 - 4(k+2) = 4k^2 - 4k - 8 = 4(k^2 - k - 2) = 4(k-2)(k+1)$

$D < 0$ のとき、$-1 < k < 2$

$D = 0$ のとき、$k = -1, 2$

$x^2+2kx+k+2 =0$

$k=-1$のとき、$x^2-2x+1=(x-1)^2=0$より、$x=1$

$k=2$のとき、$x^2+4x+4=(x+2)^2=0$より、$x=-2$

$x^2+2kx+k+2=0$が$x=3$を解に持つとき、$9+6k+k+2=0$より、$7k=-11$、$k=-\frac{11}{7}$

$k = -\frac{11}{7}$ のときは $x=3$ が重解になるので、異なる実数解は1個になってしまう。

$k < -1, k > 2$ のとき、$x=3$以外の実数解を2つ持つ。

つまり、$x^2+2kx+k+2=0$が異なる2実数解を持つとき、$k< -1 or k>2$.

$D>0$.この場合、3つの解を持つので不適。

$k=-1$または$k=2$のとき、$D=0$.

$k=-1$のとき、$x=1$,$x=3$. よって、異なる2実数解を持つので適する。

$k=2$のとき、$x=-2$,$x=3$. よって、異なる2実数解を持つので適する。

$-1 < k < 2$のとき、$D<0$.$x=3$のみが解なので不適。

よって、$k = -1, 2$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$

(2) 商: $x-3$, $b = 2$, $c = -6$

(3) $k = -1, 2$