与えられた多項式 $8x^3 + 12x^2y + 4xy^2 + 6x^2 + 9xy + 3y^2$ を因数分解せよ、という問題です。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $8x^3 + 12x^2y + 4xy^2 + 6x^2 + 9xy + 3y^2$ を因数分解せよ、という問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式をよく観察します。$x$ と $y$ の次数に着目し、共通因数を見つけることを試みます。ただし、この多項式全体で共通因数を見つけることは困難です。そこで、項の並び替えや組み合わせを工夫して、因数分解可能な形に近づけることを考えます。

まず、最初に $8x^3 + 12x^2y + 4xy^2$ の部分に着目します。ここから $4x$ をくくり出すと、

$4x(2x^2 + 3xy + y^2)$

となります。さらに、$2x^2 + 3xy + y^2$ の部分を因数分解することを試みます。

$2x^2 + 3xy + y^2 = (2x + y)(x + y)$

したがって、

$8x^3 + 12x^2y + 4xy^2 = 4x(2x + y)(x + y)$

次に、$6x^2 + 9xy + 3y^2$ の部分に着目します。ここから $3$ をくくり出すと、

$3(2x^2 + 3xy + y^2)$

となります。すると、先ほど因数分解した $2x^2 + 3xy + y^2$ が再び現れるので、

$6x^2 + 9xy + 3y^2 = 3(2x + y)(x + y)$

以上から、与えられた式は次のように変形できます。

$8x^3 + 12x^2y + 4xy^2 + 6x^2 + 9xy + 3y^2 = 4x(2x + y)(x + y) + 3(2x + y)(x + y)$

ここで、$(2x + y)(x + y)$ が共通因数なので、これをくくり出すと、

$(2x + y)(x + y)(4x + 3)$

となります。

3. 最終的な答え

$(2x+y)(x+y)(4x+3)$