次の3つの方程式または不等式を解きます。 (1) $|x-3|=5x$ (2) $|x+2|<3x$ (3) $|x-2|<2x-1$

1. 問題の内容

次の3つの方程式または不等式を解きます。

(1) $|x-3|=5x$

(2) $|x+2|<3x$

(3) $|x-2|<2x-1$

2. 解き方の手順

(1) 絶対値記号を外すため、$x-3$ が正の場合と負の場合に分けて考えます。

場合1: $x-3 \geq 0$ すなわち $x \geq 3$ のとき

$x-3 = 5x$

$-4x = 3$

$x = -\frac{3}{4}$

しかし、$x \geq 3$ の仮定に反するため、この場合は解なしです。

場合2: $x-3 < 0$ すなわち $x < 3$ のとき

$-(x-3) = 5x$

$-x+3 = 5x$

$6x = 3$

$x = \frac{1}{2}$

これは $x < 3$ を満たすため、解の一つです。

(2) 絶対値記号を外すため、$x+2$ が正の場合と負の場合に分けて考えます。

場合1: $x+2 \geq 0$ すなわち $x \geq -2$ のとき

$x+2 < 3x$

$2 < 2x$

$x > 1$

$x \geq -2$ と $x>1$ を満たすのは、$x>1$ です。

場合2: $x+2 < 0$ すなわち $x < -2$ のとき

$-(x+2) < 3x$

$-x-2 < 3x$

$-2 < 4x$

$x > -\frac{1}{2}$

$x < -2$ と $x > -\frac{1}{2}$ を同時に満たす $x$ は存在しないので、この場合は解なしです。

(3) 絶対値記号を外すため、$x-2$ が正の場合と負の場合に分けて考えます。

場合1: $x-2 \geq 0$ すなわち $x \geq 2$ のとき

$x-2 < 2x-1$

$-1 < x$

$x> -1$

$x \geq 2$ と $x > -1$ を満たすのは、$x \geq 2$ です。

場合2: $x-2 < 0$ すなわち $x < 2$ のとき

$-(x-2) < 2x-1$

$-x+2 < 2x-1$

$3 < 3x$

$x > 1$

$x < 2$ と $x > 1$ を満たすのは、$1 < x < 2$ です。

したがって、$x \geq 2$ と $1 < x < 2$ を合わせて、$x > 1$ が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}$

(2) $x > 1$

(3) $x > 1$