与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 - 5x + 5y + 3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 - 5x + 5y + 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について降べきの順に整理します。

$2x^2 - (3y + 5)x - (2y^2 - 5y - 3)$

次に、定数項を因数分解します。

$2y^2 - 5y - 3 = (2y + 1)(y - 3)$

したがって、与式は

$2x^2 - (3y + 5)x - (2y + 1)(y - 3)$

これを因数分解することを考えます。

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形になると仮定します。

$2x^2$ の項があるので、$(2x + ay + b)(x + cy + d)$ とおきます。

このとき、$2x^2 + (2c + a)xy + acy^2 + (2d + b)x + (ad + bc)y + bd$ となります。

係数を比較すると、

$2c + a = -3$

$ac = -2$

$2d + b = -5$

$ad + bc = 5$

$bd = 3$

$ac = -2$ より、$a = 1, c = -2$ または $a = -1, c = 2$ または $a = 2, c = -1$ または $a = -2, c = 1$ が考えられます。

$2c + a = -3$ を満たすのは、$a = 1, c = -2$ の場合です。

このとき、

$2x^2 - 3xy - 2y^2 + (2d + b)x + (d - 2b)y + bd$

$bd = 3$ より、$(b, d) = (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)$ が考えられます。

$2d + b = -5$ より、$(b, d) = (-1, -2)$ か $(b,d) = (-3, -1)$

$b=-3, d=-1$ のとき、 $d - 2b = -1 - 2(-3) = -1 + 6 = 5$ となり、条件を満たします。

したがって、$2x^2 - 3xy - 2y^2 - 5x + 5y + 3 = (2x + y - 3)(x - 2y - 1)$

となります。

3. 最終的な答え

$(2x + y - 3)(x - 2y - 1)$