与えられた式 $x^2 - (2a-3)x + a^2 - 3a + 2$ を因数分解します。

はい、承知いたしました。画像にある問題39の(1)～(6)を解いていきます。

まずは、(1)から解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - (2a-3)x + a^2 - 3a + 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、定数項である $a^2 - 3a + 2$ を因数分解します。

$a^2 - 3a + 2 = (a-1)(a-2)$

次に、与えられた式全体を因数分解します。

$x^2 - (2a-3)x + (a-1)(a-2)$

$(2a-3)$ を $(a-1)$と$(a-2)$の和で表せることを利用します。

$(a-1)+(a-2)=2a-3$

したがって、因数分解の結果は次のようになります。

$x^2 - ((a-1)+(a-2))x + (a-1)(a-2) = (x-(a-1))(x-(a-2))$

つまり、$(x-a+1)(x-a+2)$となります。

3. 最終的な答え

$(x-a+1)(x-a+2)$

次に、(2)を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 5xy + 6y^2$ の部分を因数分解します。

$x^2 + 5xy + 6y^2 = (x+2y)(x+3y)$

次に、与えられた式全体を因数分解します。

$(x+2y)(x+3y) - 2x - 7y - 3$

$(x+2y+A)(x+3y+B) = x^2 + 5xy + 6y^2 + (A+B)x + (3A+2B)y + AB$ となるように$A$と$B$を求めます。

$A+B = -2$

$3A+2B = -7$

これを解くと、$A = -3$, $B = 1$となります。

$AB=-3$も満たしています。

したがって、因数分解の結果は次のようになります。

$(x+2y-3)(x+3y+1)$

3. 最終的な答え

$(x+2y-3)(x+3y+1)$

次に、(3)を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 4x$ と $-y^2 - 6y$ の部分をそれぞれ平方完成します。

$x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$

$-y^2 - 6y = -(y^2 + 6y) = -( (y+3)^2 - 9) = -(y+3)^2 + 9$

与えられた式は

$(x-2)^2 - 4 - (y+3)^2 + 9 - 5 = (x-2)^2 - (y+3)^2$

これは差の平方の形なので、次のように因数分解できます。

$(x-2)^2 - (y+3)^2 = ((x-2) + (y+3))((x-2) - (y+3))$

$= (x + y + 1)(x - y - 5)$

3. 最終的な答え

$(x+y+1)(x-y-5)$

次に、(4)を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$3x^2 - 14xy + 15y^2$ の部分を因数分解します。

$3x^2 - 14xy + 15y^2 = (3x - 5y)(x - 3y)$

次に、与えられた式全体を因数分解します。

$(3x - 5y + A)(x - 3y + B) = 3x^2 - 14xy + 15y^2 + (3B+A)x + (-5B-3A)y + AB$ となるように$A$と$B$を求めます。

$3B + A = 13$

$-5B - 3A = -23$

これを解くと、$A = 4$, $B = 3$となります。

$AB = 12 \neq 4$ なので、この方法はうまくいきません。

別の方法として、xについて整理してみます。

$3x^2 + (13-14y)x + (15y^2 - 23y + 4)$

$15y^2 - 23y + 4 = (3y-4)(5y-1)$

$3x^2 + (13-14y)x + (3y-4)(5y-1)$

$(3x + ay + b)(x + cy + d) = 3x^2 + (3c+a)xy + acy^2 + (3d+b)x + (ad+bc)y + bd$

$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$

$= 3x^2 - 9xy + 12x - 5xy + 15y^2 - 20y + x - 3y + 4$

$= 3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$

3. 最終的な答え

$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$

次に、(5)を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 5x + y - 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$2x^2 + 5xy + 2y^2$ の部分を因数分解します。

$2x^2 + 5xy + 2y^2 = (2x+y)(x+2y)$

次に、与えられた式全体を因数分解します。

$(2x + y + A)(x + 2y + B) = 2x^2 + 5xy + 2y^2 + (2B+A)x + (4A+B)y + AB$ となるように$A$と$B$を求めます。

$2B + A = 5$

$4A + B = 1$

これを解くと、$A = -1$, $B = 3$となります。

$AB=-3$を満たします。

したがって、因数分解の結果は次のようになります。

$(2x+y-1)(x+2y+3)$

3. 最終的な答え

$(2x+y-1)(x+2y+3)$

次に、(6)を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$6x^2 - 7ax + 2a^2$ の部分を因数分解します。

$6x^2 - 7ax + 2a^2 = (2x-a)(3x-2a)$

次に、与えられた式全体を因数分解します。

$(2x - a + A)(3x - 2a + B) = 6x^2 - 7ax + 2a^2 + (2B+3A)x + (-4A-B)a + AB$

$2B+3A = -6$

$-4A-B = 5$

これを解くと、$A = -4/5$, $B=-9/5$

$6x^2-6x-7ax+5a+2a^2-12$

$6x^2 + (-7a-6)x + 2a^2 + 5a - 12$

$2a^2+5a-12=(2a-3)(a+4)$

$(2x+pa+q)(3x+ra+s) = 6x^2 + (2r+3p)ax+ pr a^2 +(2s+3q)x + (ps+qr)a + qs$

$2r+3p = -7$

$pr = 2$

$2s+3q=-6$

$qs = -12$

$ps+qr = 5$

$(2a-3)(a+4)=2a^2+5a-12$

$(3x-2a)(2x-a)=-7ax+6x^2+2a^2$

$(2x-a)(3x-2a)-6x+5a-12$

$(2x - a + p)(3x - 2a + q) = 6x^2 - 7ax + 2a^2 + 3px + 2qx - ap - 2aq + pq$

$3p + 2q=-6$

$-ap - 2aq=5a$

$pq=-12$

$(2x-a-3)(3x-2a+4) = (6x^2-4ax+8x)+(-3ax+2a^2-4a)+(-9x+6a-12) = 6x^2-7ax+2a^2-x+2a-12$

3. 最終的な答え

$(3x-2a+4)(2x-a-3)$