3次方程式 $x^3 - 3x^2 + ax + b = 0$ が $1+3i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$ と $b$ の値を求め、他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 + ax + b = 0$ が $1+3i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$ と $b$ の値を求め、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $1+3i$ が解なので、$1-3i$ も解である。

なぜなら、$a$ と $b$ は実数なので、複素数の解を持つ場合、その共役複素数も解になるからである。

(2) もう一つの解を $\alpha$ とすると、解と係数の関係から次の３つの式が成り立つ。

和：$(1+3i) + (1-3i) + \alpha = 3$

$2 + \alpha = 3$

$\alpha = 1$

積：$(1+3i)(1-3i)\alpha = -b$

$(1+9)(1) = -b$

$10 = -b$

$b = -10$

$(1+3i)+(1-3i)+\alpha = 3$

$(1+3i)(1-3i) + (1+3i)\alpha + (1-3i)\alpha = a$

$1+9 + \alpha + 3i\alpha + \alpha - 3i\alpha = a$

$10 + 2\alpha = a$

$10 + 2(1) = a$

$a = 12$

(3) $x^3 - 3x^2 + 12x - 10 = 0$

$(x - (1+3i))(x-(1-3i))(x-1) = 0$

$((x-1)^2 + 9)(x-1)=0$

$(x^2 - 2x +10)(x-1)=0$

(4) よって $a = 12$, $b = -10$, 他の解は $1-3i$ と $1$ である。

3. 最終的な答え

$a = 12$

$b = -10$

他の解は $1$ と $1-3i$