与えられた式 $x(x+1)(x+2)(x+3)$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x(x+1)(x+2)(x+3)$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $(x+3)$、$(x+1)$ と $(x+2)$ をそれぞれ掛け合わせます。

\begin{align*}

x(x+1)(x+2)(x+3) &= x(x+3)(x+1)(x+2) \\

&= (x^2+3x)(x^2+3x+2)

\end{align*}

ここで、$x^2+3x = A$ と置くと、

\begin{align*}

(x^2+3x)(x^2+3x+2) &= A(A+2) \\

&= A^2 + 2A

\end{align*}

$A$ を $x^2+3x$ に戻すと、

\begin{align*}

A^2 + 2A &= (x^2+3x)^2 + 2(x^2+3x) \\

&= (x^4 + 6x^3 + 9x^2) + (2x^2+6x) \\

&= x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x

\end{align*}

3. 最終的な答え

$x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x$