与えられた3次方程式 $2x^3 - 7x + 2 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $2x^3 - 7x + 2 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、この3次方程式の整数解を探す。整数解の候補は、定数項2の約数である $±1$ と $±2$ である。これらの値を方程式に代入して確かめる。

$x = 2$ を代入すると、

$2(2)^3 - 7(2) + 2 = 2(8) - 14 + 2 = 16 - 14 + 2 = 4 \neq 0$

$x = -2$ を代入すると、

$2(-2)^3 - 7(-2) + 2 = 2(-8) + 14 + 2 = -16 + 14 + 2 = 0$

したがって、$x = -2$ は方程式の解の一つである。

$x = -2$ が解であることから、$x + 2$ は $2x^3 - 7x + 2$ の因数である。そこで、多項式 $2x^3 - 7x + 2$ を $x + 2$ で割る。

$2x^3 - 7x + 2 = (x+2)(2x^2 - 4x + 1)$

したがって、$2x^3 - 7x + 2 = 0$ は、$(x+2)(2x^2 - 4x + 1) = 0$ となる。

$x = -2$ が解の一つである。

次に、$2x^2 - 4x + 1 = 0$ を解く。

これは2次方程式なので、解の公式を用いて解くことができる。

$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 2, b = -4, c = 1$ なので、

$x = \frac{4 ± \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)}$

$x = \frac{4 ± \sqrt{16 - 8}}{4}$

$x = \frac{4 ± \sqrt{8}}{4}$

$x = \frac{4 ± 2\sqrt{2}}{4}$

$x = \frac{2 ± \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = -2, \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$