与えられた複素数を極形式で表す問題です。複素数は以下の6つです。 (1) $1+i$ (2) $1-i$ (3) $-2\sqrt{3} + 2i$ (4) $1$ (5) $-1$ (6) $-i$

1. 問題の内容

与えられた複素数を極形式で表す問題です。複素数は以下の6つです。

(1) $1+i$

(2) $1-i$

(3) $-2\sqrt{3} + 2i$

(4) $1$

(5) $-1$

(6) $-i$

2. 解き方の手順

複素数 $z = a + bi$ を極形式で表すには、以下の手順で行います。

(1) 絶対値 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ を計算します。

(2) 偏角 $\theta$ を計算します。$\cos \theta = \frac{a}{r}$、$\sin \theta = \frac{b}{r}$ を満たす $\theta$ を見つけます。

(3) 極形式 $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ で表します。

以下、各複素数について計算を行います。

(1) $1+i$

$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{4}$

極形式：$\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$

(2) $1-i$

$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta = -\frac{\pi}{4}$ または $\theta = \frac{7\pi}{4}$

極形式：$\sqrt{2}(\cos (-\frac{\pi}{4}) + i \sin (-\frac{\pi}{4}))$ または $\sqrt{2}(\cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4})$

(3) $-2\sqrt{3} + 2i$

$r = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$

$\cos \theta = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\theta = \frac{5\pi}{6}$

極形式：$4(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6})$

(4) $1$

$r = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$

$\cos \theta = 1$、$\sin \theta = 0$

$\theta = 0$

極形式：$1(\cos 0 + i \sin 0)$

(5) $-1$

$r = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1$

$\cos \theta = -1$、$\sin \theta = 0$

$\theta = \pi$

極形式：$1(\cos \pi + i \sin \pi)$

(6) $-i$

$r = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1$

$\cos \theta = 0$、$\sin \theta = -1$

$\theta = -\frac{\pi}{2}$ または $\theta = \frac{3\pi}{2}$

極形式：$1(\cos (-\frac{\pi}{2}) + i \sin (-\frac{\pi}{2}))$ または $1(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$

(2) $\sqrt{2}(\cos (-\frac{\pi}{4}) + i \sin (-\frac{\pi}{4}))$ または $\sqrt{2}(\cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4})$

(3) $4(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6})$

(4) $1(\cos 0 + i \sin 0)$

(5) $1(\cos \pi + i \sin \pi)$

(6) $1(\cos (-\frac{\pi}{2}) + i \sin (-\frac{\pi}{2}))$ または $1(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2})$