$\frac{ds}{d\theta} = -2\cos^2\theta + \cos\theta + 1$ の増減表を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{ds}{d\theta} = -2\cos^2\theta + \cos\theta + 1$ の増減表を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{ds}{d\theta} = 0$ となる $\theta$ を求めます。

$\frac{ds}{d\theta} = -2\cos^2\theta + \cos\theta + 1 = 0$

$\cos\theta = t$ とおくと、

$-2t^2 + t + 1 = 0$

$2t^2 - t - 1 = 0$

$(2t + 1)(t - 1) = 0$

したがって、$t = 1, -\frac{1}{2}$

よって、$\cos\theta = 1, -\frac{1}{2}$

$\cos\theta = 1$ より、$\theta = 2n\pi$ （nは整数）

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{2}{3}\pi + 2n\pi, \frac{4}{3}\pi + 2n\pi$ （nは整数）

増減表を考察するために、$\theta$ の範囲を $0 \leq \theta \leq 2\pi$ とします。

この範囲で $\frac{ds}{d\theta} = 0$ となるのは $\theta = 0, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi, 2\pi$ です。

$\theta$ の範囲を $0 < \theta < 2\pi$ として、$\frac{ds}{d\theta}$ の符号を調べます。

- $0 < \theta < \frac{2}{3}\pi$ のとき、$\cos\theta > -\frac{1}{2}$ となり、$0 < \cos\theta \le 1$ です。

この範囲では、$\frac{ds}{d\theta} = -2\cos^2\theta + \cos\theta + 1 > 0$ となります。

例えば、$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos\theta = 0$ であり、$\frac{ds}{d\theta} = 1 > 0$ です。

- $\frac{2}{3}\pi < \theta < \frac{4}{3}\pi$ のとき、$-\frac{1}{2} < \cos\theta < 0$ となり、$\frac{ds}{d\theta} < 0$ となります。

例えば、$\theta = \pi$ のとき、$\cos\theta = -1$ であり、$\frac{ds}{d\theta} = -2(-1)^2 + (-1) + 1 = -2 - 1 + 1 = -2 < 0$ です。

- $\frac{4}{3}\pi < \theta < 2\pi$ のとき、$0 < \cos\theta < 1$ となり、$\frac{ds}{d\theta} > 0$ となります。

例えば、$\theta = \frac{3}{2}\pi$ のとき、$\cos\theta = 0$ であり、$\frac{ds}{d\theta} = 1 > 0$ です。

したがって、$\frac{ds}{d\theta}$ の符号は以下のようになります。

$\theta=0$のとき、$\frac{ds}{d\theta}=0$

$0 < \theta < \frac{2}{3}\pi$のとき、$\frac{ds}{d\theta} > 0$

$\theta = \frac{2}{3}\pi$のとき、$\frac{ds}{d\theta} = 0$

$\frac{2}{3}\pi < \theta < \frac{4}{3}\pi$のとき、$\frac{ds}{d\theta} < 0$

$\theta = \frac{4}{3}\pi$のとき、$\frac{ds}{d\theta} = 0$

$\frac{4}{3}\pi < \theta < 2\pi$のとき、$\frac{ds}{d\theta} > 0$

$\theta=2\pi$のとき、$\frac{ds}{d\theta}=0$

3. 最終的な答え

増減表は以下のように記述できます。（$0 \leq \theta \leq 2\pi$ の範囲で）

| $\theta$ | 0 | ... | $\frac{2}{3}\pi$ | ... | $\frac{4}{3}\pi$ | ... | $2\pi$ |

| ------------- | ---- | ---------- | ------------- | ---------- | ------------- | ---------- | ----- |

| $\frac{ds}{d\theta}$ | 0 | + | 0 | - | 0 | + | 0 |

| $s$ | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 | 極小 |