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$\frac{ds}{d\theta} = -2\cos^2\theta + \cos\theta + 1$ の増減表を求める問題です。

解析学微分三角関数増減表極値
2025/3/20

1. 問題の内容

dsdθ=−2cos⁡2θ+cos⁡θ+1\frac{ds}{d\theta} = -2\cos^2\theta + \cos\theta + 1 の増減表を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、dsdθ=0\frac{ds}{d\theta} = 0 となる θ\theta を求めます。
dsdθ=−2cos⁡2θ+cos⁡θ+1=0\frac{ds}{d\theta} = -2\cos^2\theta + \cos\theta + 1 = 0
cos⁡θ=t\cos\theta = t とおくと、
−2t2+t+1=0-2t^2 + t + 1 = 0
2t2−t−1=02t^2 - t - 1 = 0
(2t+1)(t−1)=0(2t + 1)(t - 1) = 0
したがって、t=1,−12t = 1, -\frac{1}{2}
よって、cos⁡θ=1,−12\cos\theta = 1, -\frac{1}{2}
cos⁡θ=1\cos\theta = 1 より、θ=2nπ\theta = 2n\pi （nは整数）
cos⁡θ=−12\cos\theta = -\frac{1}{2} より、θ=23π+2nπ,43π+2nπ\theta = \frac{2}{3}\pi + 2n\pi, \frac{4}{3}\pi + 2n\pi （nは整数）
増減表を考察するために、θ\theta の範囲を 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi とします。
この範囲で dsdθ=0\frac{ds}{d\theta} = 0 となるのは θ=0,23π,43π,2π\theta = 0, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi, 2\pi です。
θ\theta の範囲を 0<θ<2π0 < \theta < 2\pi として、dsdθ\frac{ds}{d\theta} の符号を調べます。
- 0<θ<23π0 < \theta < \frac{2}{3}\pi のとき、cos⁡θ>−12\cos\theta > -\frac{1}{2} となり、0<cos⁡θ≤10 < \cos\theta \le 1 です。
この範囲では、dsdθ=−2cos⁡2θ+cos⁡θ+1>0\frac{ds}{d\theta} = -2\cos^2\theta + \cos\theta + 1 > 0 となります。
例えば、θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} のとき、cos⁡θ=0\cos\theta = 0 であり、dsdθ=1>0\frac{ds}{d\theta} = 1 > 0 です。
- 23π<θ<43π\frac{2}{3}\pi < \theta < \frac{4}{3}\pi のとき、−12<cos⁡θ<0-\frac{1}{2} < \cos\theta < 0 となり、dsdθ<0\frac{ds}{d\theta} < 0 となります。
例えば、θ=π\theta = \pi のとき、cos⁡θ=−1\cos\theta = -1 であり、dsdθ=−2(−1)2+(−1)+1=−2−1+1=−2<0\frac{ds}{d\theta} = -2(-1)^2 + (-1) + 1 = -2 - 1 + 1 = -2 < 0 です。
- 43π<θ<2π\frac{4}{3}\pi < \theta < 2\pi のとき、0<cos⁡θ<10 < \cos\theta < 1 となり、dsdθ>0\frac{ds}{d\theta} > 0 となります。
例えば、θ=32π\theta = \frac{3}{2}\pi のとき、cos⁡θ=0\cos\theta = 0 であり、dsdθ=1>0\frac{ds}{d\theta} = 1 > 0 です。
したがって、dsdθ\frac{ds}{d\theta} の符号は以下のようになります。
θ=0\theta=0のとき、dsdθ=0\frac{ds}{d\theta}=0
0<θ<23π0 < \theta < \frac{2}{3}\piのとき、dsdθ>0\frac{ds}{d\theta} > 0
θ=23π\theta = \frac{2}{3}\piのとき、dsdθ=0\frac{ds}{d\theta} = 0
23π<θ<43π\frac{2}{3}\pi < \theta < \frac{4}{3}\piのとき、dsdθ<0\frac{ds}{d\theta} < 0
θ=43π\theta = \frac{4}{3}\piのとき、dsdθ=0\frac{ds}{d\theta} = 0
43π<θ<2π\frac{4}{3}\pi < \theta < 2\piのとき、dsdθ>0\frac{ds}{d\theta} > 0
θ=2π\theta=2\piのとき、dsdθ=0\frac{ds}{d\theta}=0

3. 最終的な答え

増減表は以下のように記述できます。（0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi の範囲で）
| θ\theta | 0 | ... | 23π\frac{2}{3}\pi | ... | 43π\frac{4}{3}\pi | ... | 2π2\pi |
| ------------- | ---- | ---------- | ------------- | ---------- | ------------- | ---------- | ----- |
| dsdθ\frac{ds}{d\theta} | 0 | + | 0 | - | 0 | + | 0 |
| ss | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 | 極小 |

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