複素数 $z$ が極形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で与えられているとき、$-z$ と $\bar{z}$ をそれぞれ極形式で表す。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が極形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で与えられているとき、$-z$ と $\bar{z}$ をそれぞれ極形式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$-z$ について考えます。

$-z = -r(\cos\theta + i\sin\theta) = r(-\cos\theta - i\sin\theta)$

ここで、

$-\cos\theta = \cos(\theta + \pi)$

$-\sin\theta = \sin(\theta + \pi)$

であるから、

$-z = r(\cos(\theta+\pi) + i\sin(\theta+\pi))$

次に、$\bar{z}$ について考えます。

$\bar{z}$ は $z$ の共役複素数であるから、

$\bar{z} = r(\cos\theta - i\sin\theta)$

ここで、

$\cos(-\theta) = \cos\theta$

$\sin(-\theta) = -\sin\theta$

であるから、

$\bar{z} = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

3. 最終的な答え

$-z = r(\cos(\theta+\pi) + i\sin(\theta+\pi))$

$\bar{z} = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$