点 $(x, y)$ が原点を中心とする半径1の円の内部を動くとき、点 $(x+y, xy)$ の動く範囲を求める。

1. 問題の内容

点 $(x, y)$ が原点を中心とする半径1の円の内部を動くとき、点 $(x+y, xy)$ の動く範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、新しい座標 $(u, v)$ を導入して、

$u = x + y$

$v = xy$

とします。

$x$ と $y$ は $t$ に関する二次方程式 $t^2 - ut + v = 0$ の解です。

$x$ と $y$ が実数であるためには、この二次方程式の判別式が非負でなければなりません。

つまり、$D = u^2 - 4v \geq 0$ より、

$v \leq \frac{u^2}{4}$

となります。

また、点 $(x, y)$ は原点を中心とする半径1の円の内部にあるので、

$x^2 + y^2 < 1$

です。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$ であるから、

$u^2 - 2v < 1$

$2v > u^2 - 1$

$v > \frac{u^2}{2} - \frac{1}{2}$

となります。

したがって、$v \leq \frac{u^2}{4}$ と $v > \frac{u^2}{2} - \frac{1}{2}$ の条件を満たす範囲が、点 $(x+y, xy)$ の動く範囲となります。

これらの不等式を満たす $(u, v)$ の範囲を図示します。

$v = \frac{u^2}{4}$ は下に凸の放物線で、$v = \frac{u^2}{2} - \frac{1}{2}$ も下に凸の放物線です。

交点を求めます。

$\frac{u^2}{4} = \frac{u^2}{2} - \frac{1}{2}$

$u^2 = 2u^2 - 2$

$u^2 = 2$

$u = \pm \sqrt{2}$

$v = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

したがって、交点は $(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ と $(-\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ です。

動く範囲は、$v \leq \frac{u^2}{4}$ と $v > \frac{u^2}{2} - \frac{1}{2}$ の両方を満たす $(u, v)$ の領域であり、放物線 $v = \frac{u^2}{4}$ の下側で、放物線 $v = \frac{u^2}{2} - \frac{1}{2}$ の上側の領域です。境界は、$v = \frac{u^2}{4}$ は含み、$v = \frac{u^2}{2} - \frac{1}{2}$ は含みません。

3. 最終的な答え

点 $(x+y, xy)$ の動く範囲は、

$v \leq \frac{u^2}{4}$

$v > \frac{u^2}{2} - \frac{1}{2}$

を満たす領域。ただし、境界 $v=\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}$は含まない。