$|a| = 1$ のとき、$a^2 + \frac{1}{a^2}$ は実数である。

1. 問題の内容

$|a| = 1$ のとき、$a^2 + \frac{1}{a^2}$ は実数である。

2. 解き方の手順

$|a| = 1$ より、$a$ は複素数であり、$a\overline{a} = |a|^2 = 1$ が成り立つ。したがって、$\overline{a} = \frac{1}{a}$ である。

ここで、$a^2 + \frac{1}{a^2}$ の共役複素数を考える。

$\overline{a^2 + \frac{1}{a^2}} = \overline{a^2} + \overline{\frac{1}{a^2}} = (\overline{a})^2 + \frac{1}{(\overline{a})^2}$

$\overline{a} = \frac{1}{a}$ を代入すると、

$\overline{a^2 + \frac{1}{a^2}} = (\frac{1}{a})^2 + \frac{1}{(\frac{1}{a})^2} = \frac{1}{a^2} + a^2 = a^2 + \frac{1}{a^2}$

共役複素数が元の数と一致するため、$a^2 + \frac{1}{a^2}$ は実数である。

3. 最終的な答え

$a^2 + \frac{1}{a^2}$ は実数である。