問題は、与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解することです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解することです。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理して因数分解しやすい形にします。

ステップ1: 式を展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

ステップ2: $a$ について整理します。

$a^2b + ca^2 + ab^2 + 3abc + b^2c + bc^2 + c^2a= (b+c)a^2 + (b^2+3bc+c^2)a + (b^2c + bc^2)$

ステップ3: さらに整理します。

$(b+c)a^2 + (b^2+2bc+c^2+bc)a + bc(b+c)$

$= (b+c)a^2 + ((b+c)^2+bc)a + bc(b+c)$

ステップ4: 因数分解します。

$(b+c)a^2 + (b+c)^2a + abc + bc(b+c)$

$= (b+c)(a^2 + (b+c)a + bc)$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$