複素数 $\alpha$ について、$|\alpha|=1$ のとき、$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ が実数であることを証明する。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ について、$|\alpha|=1$ のとき、$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ が実数であることを証明する。

2. 解き方の手順

$\alpha$ を複素数とする。

$|\alpha| = 1$ であるとき、$\alpha \overline{\alpha} = |\alpha|^2 = 1$ が成り立つ。したがって、$\overline{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$ である。

$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ の共役複素数を考える。

$\overline{\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}} = \overline{\alpha^2} + \overline{\frac{1}{\alpha^2}}$

$= \overline{\alpha}^2 + \frac{1}{\overline{\alpha}^2}$

$\overline{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$ を用いると、

$\overline{\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}} = \left( \frac{1}{\alpha} \right)^2 + \frac{1}{\left( \frac{1}{\alpha} \right)^2}$

$= \frac{1}{\alpha^2} + \alpha^2$

$= \alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$

$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ の共役複素数が元の複素数と等しいので、$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ は実数である。

3. 最終的な答え

$|\alpha|=1$ のとき、$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ は実数である。