複素数 $z=1-i$ が与えられたとき、$|z - \frac{1}{z}|^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

複素数 $z=1-i$ が与えられたとき、$|z - \frac{1}{z}|^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{z}$ を計算する。$z=1-i$ なので、

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{1-i}$$

分母を実数化するために、分子と分母に $1+i$ をかける。

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i}{1 - i^2} = \frac{1+i}{1-(-1)} = \frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$$

次に、$z - \frac{1}{z}$ を計算する。

$$z - \frac{1}{z} = (1-i) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i) = 1-i-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i = (1-\frac{1}{2}) + (-1-\frac{1}{2})i = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}i$$

次に、$|z - \frac{1}{z}|$ を計算する。

$$|z - \frac{1}{z}| = |\frac{1}{2} - \frac{3}{2}i| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$$

最後に、$|z - \frac{1}{z}|^2$ を計算する。

$$|z - \frac{1}{z}|^2 = (\sqrt{\frac{5}{2}})^2 = \frac{5}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2}$