複素数 $z$ に対して、$\frac{z-1}{z}$ の絶対値が2で偏角が $\frac{\pi}{3}$ であるとき、複素数 $z$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に対して、$\frac{z-1}{z}$ の絶対値が2で偏角が $\frac{\pi}{3}$ であるとき、複素数 $z$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{z-1}{z}$ を極形式で表します。問題文より、

$$\frac{z-1}{z} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 + i\sqrt{3}$$

したがって、

$$z-1 = z(1+i\sqrt{3})$$

$$z-1 = z + iz\sqrt{3}$$

$$-1 = iz\sqrt{3}$$

$$z = \frac{-1}{i\sqrt{3}}$$

ここで、分母に $i$ があるので、分母と分子に $-i$ をかけます。

$$z = \frac{-1}{i\sqrt{3}} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{i}{-i^2\sqrt{3}} = \frac{i}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}i}{3}$$

したがって、$z = \frac{\sqrt{3}}{3} i$となります。

3. 最終的な答え

$z = \frac{\sqrt{3}}{3}i$