与えられた不等式 $(3x+\frac{1}{y})(\frac{3}{x}+y) \geq 16$ を解釈し、そこから得られる $3xy + \frac{3}{xy} - 6 \geq 0$ という不等式について考察し、問題を解く。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $(3x+\frac{1}{y})(\frac{3}{x}+y) \geq 16$ を解釈し、そこから得られる $3xy + \frac{3}{xy} - 6 \geq 0$ という不等式について考察し、問題を解く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を展開します。

$(3x+\frac{1}{y})(\frac{3}{x}+y) = 3x \cdot \frac{3}{x} + 3x \cdot y + \frac{1}{y} \cdot \frac{3}{x} + \frac{1}{y} \cdot y = 9 + 3xy + \frac{3}{xy} + 1 = 10 + 3xy + \frac{3}{xy}$

したがって、与えられた不等式は次のようになります。

$10 + 3xy + \frac{3}{xy} \geq 16$

両辺から10を引くと、

$3xy + \frac{3}{xy} \geq 6$

両辺を3で割ると、

$xy + \frac{1}{xy} \geq 2$

さらに両辺に3をかけると、

$3xy + \frac{3}{xy} \geq 6$

すなわち、$3xy + \frac{3}{xy} - 6 \geq 0$ となります。

ここで、$t = xy$ とおくと、不等式は次のようになります。

$3t + \frac{3}{t} \geq 6$

$t > 0$ のとき、両辺に $t$ をかけると、

$3t^2 + 3 \geq 6t$

$3t^2 - 6t + 3 \geq 0$

$t^2 - 2t + 1 \geq 0$

$(t-1)^2 \geq 0$

これは常に成立します。

$t = xy > 0$ より、$xy$ は任意の正の実数を取り得ます。

$(t-1)^2=0$のとき、$t=1$、つまり、$xy=1$のとき、等号が成立します。

3. 最終的な答え

$3xy + \frac{3}{xy} - 6 \geq 0$　は常に成立する。

$xy$は任意の正の実数を取りうる。

等号成立条件は$xy=1$である。