$x$ の範囲が $-1 < x < 2$、 $y$ の範囲が $1 < y < 3$ であるとき、次の式の取りうる値の範囲を求めます。 (1) $2x + 3y$ (2) $5x - 3y$

1. 問題の内容

$x$ の範囲が $-1 < x < 2$、 $y$ の範囲が $1 < y < 3$ であるとき、次の式の取りうる値の範囲を求めます。

(1) $2x + 3y$

(2) $5x - 3y$

2. 解き方の手順

(1) $2x+3y$ の範囲を求める

まず、$x$ の範囲に 2 を掛けて $2x$ の範囲を求めます。

$-1 < x < 2$ より、 $-2 < 2x < 4$

次に、$y$ の範囲に 3 を掛けて $3y$ の範囲を求めます。

$1 < y < 3$ より、 $3 < 3y < 9$

$2x$ と $3y$ の範囲を足し合わせます。

$-2 < 2x < 4$

$3 < 3y < 9$

これらの不等式を足し合わせると、

$1 < 2x + 3y < 13$

(2) $5x-3y$ の範囲を求める

まず、$x$ の範囲に 5 を掛けて $5x$ の範囲を求めます。

$-1 < x < 2$ より、 $-5 < 5x < 10$

次に、$y$ の範囲に -3 を掛けて $-3y$ の範囲を求めます。不等号の向きが変わることに注意します。

$1 < y < 3$ より、 $-3 > -3y > -9$ 。これを書き換えると、$-9 < -3y < -3$

$5x$ と $-3y$ の範囲を足し合わせます。

$-5 < 5x < 10$

$-9 < -3y < -3$

これらの不等式を足し合わせると、

$-14 < 5x - 3y < 7$

3. 最終的な答え

(1) $1 < 2x + 3y < 13$

(2) $-14 < 5x - 3y < 7$