全体集合 $U$ を自然数全体の集合とし、集合 $A$ は集合 $U$ の部分集合とする。$4$ のみを要素にもつ集合 $\{4\}$ が集合 $A$ の部分集合であるとき、次の選択肢の中から成り立つ関係を全て選ぶ問題です。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を自然数全体の集合とし、集合 $A$ は集合 $U$ の部分集合とする。$4$ のみを要素にもつ集合 $\{4\}$ が集合 $A$ の部分集合であるとき、次の選択肢の中から成り立つ関係を全て選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

集合 $\{4\}$ が集合 $A$ の部分集合であるということは、$4$ が $A$ の要素であるということです。つまり、$4 \in A$ が成立します。このことを踏まえて各選択肢を検討します。

* 選択肢1: $4 \in A$

これは $4$ が $A$ の要素であることを意味し、正しいです。

* 選択肢2: $\{4\} \in A$

これは集合 $\{4\}$ が $A$ の要素であることを意味します。問題文より、$4 \in A$ は言えますが、$\{4\} \in A$ とは限りません。例えば、$A = \{4, 5\}$ のとき、$4 \in A$ ですが、$\{4\} \in A$ ではありません。したがって、この選択肢は誤りです。

* 選択肢3: $\{4\} \subset A$

これは $\{4\}$ が $A$ の真部分集合であることを意味します。問題文より、$A$ は $\{4\}$ を部分集合として含むことは言えますが、$A$ が $\{4\}$ と完全に一致しないかどうかはわかりません。例えば、$A=\{4\}$ の場合、$\{4\} \subset A$ は成り立ちません。

また、$A = \{4\}$のとき、$\{4\} \subset A$ は成り立ちません。 $\{4\} \subseteq A$ であれば正しいです。よってこの選択肢は誤りです。

* 選択肢4: $\{4\} \cup A = A$

これは $\{4\}$ と $A$ の和集合が $A$ に等しいことを意味します。これは、$4$ が $A$ の要素であることから導かれます。$4 \in A$ なので、$\{4\} \cup A = A$ は正しいです。

* 選択肢5: $\{4\} \cap A = \emptyset$

これは $\{4\}$ と $A$ の共通部分が空集合であることを意味します。つまり、$A$ は $4$ を要素として含まないことになりますが、$4 \in A$ であることから、これは誤りです。

3. 最終的な答え

選択肢1と選択肢4が正しいので、答えは1と4です。