与えられた式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を展開し、因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を展開し、因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開する。

$ab(a+b) = a^2b + ab^2$

$bc(b+c) = b^2c + bc^2$

$ca(c+a) = c^2a + ca^2$

したがって、与えられた式は次のようになる。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

次に、この式を因数分解する。

この式は $a, b, c$ について対称なので、$(a+b)(b+c)(c+a)$ の形になることが予想できる。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc + ba + c^2 + ca)$

$= abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

与えられた式 $a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$ と上記の展開式 $a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$ を比較すると、

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc + abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

しかし、元の式は $(a+b)(b+c)(c+a)$ に単純化されない。

元の式をもう一度見てみよう。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

これは、$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$ という恒等式に似ている。

もしかしたら $(a+b+c)(ab+bc+ca)$ になるのでは？

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ ではない。

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$ が正解。

最終的な答え：

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$