次の関数の導関数を求めます。 (1) $y = x^x$ （ただし、$x > 0$） (2) $y = x^{\sqrt{2}}$ (3) $y = 4\sqrt[3]{x^2} + 2$ (4) $y = 5x^2\sqrt[5]{x^3} + 3$

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求めます。

(1) $y = x^x$ （ただし、$x > 0$）

(2) $y = x^{\sqrt{2}}$

(3) $y = 4\sqrt[3]{x^2} + 2$

(4) $y = 5x^2\sqrt[5]{x^3} + 3$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^x$ の導関数を求める。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln x^x = x \ln x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)$

(2) $y = x^{\sqrt{2}}$ の導関数を求める。

$y' = \sqrt{2} x^{\sqrt{2} - 1}$

(3) $y = 4\sqrt[3]{x^2} + 2$ の導関数を求める。

$y = 4x^{\frac{2}{3}} + 2$

$y' = 4 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{8}{3} x^{-\frac{1}{3}} = \frac{8}{3\sqrt[3]{x}}$

(4) $y = 5x^2\sqrt[5]{x^3} + 3$ の導関数を求める。

$y = 5x^2 x^{\frac{3}{5}} + 3 = 5x^{\frac{13}{5}} + 3$

$y' = 5 \cdot \frac{13}{5} x^{\frac{13}{5} - 1} = 13 x^{\frac{8}{5}} = 13x\sqrt[5]{x^3}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = x^x (\ln x + 1)$

(2) $y' = \sqrt{2} x^{\sqrt{2} - 1}$

(3) $y' = \frac{8}{3\sqrt[3]{x}}$

(4) $y' = 13x\sqrt[5]{x^3}$